Tenzorji so definirani tako, da jim lahko pripišemo določeno število indeksov. Indeksi so lahko kovariantni (pišemo jih spodaj) ali kontravariantni (pišemo jih zgoraj). Skupno število kovariantnih in kontravariantnih indeksov se imenuje red tenzorja (rang tenzorja), ki pa ni odvisen od števila razsežnosti prostora v katerem opazujemo tenzor. Tenzorji z redom 0 so skalarji , tisti, ki imajo red 1, so vektorji . Vse količine, ki imajo red večji ali enak 2, pa na splošno imenujemo kar tenzorji .
Tenzorski produkt vektorskih prostorov
uredi
Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 1 (vektorji)
uredi
Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 1, ki jih imenujemo vektorji , se določijo posamezne komponente na naslednji način
(
A
⊗
B
)
j
i
=
C
j
i
=
A
i
B
j
{\displaystyle {\begin{aligned}(A\otimes B)_{\ j}^{i}&=C_{\ j}^{i}\\&=A^{i}B_{j}\end{aligned}}}
Za vrednosti
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
,
j
∈
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle i\in \{1,2,3\},~j\in \{1,2,3,4\}}
A
⊗
B
=
A
i
δ
i
⊗
B
j
δ
j
=
A
i
B
j
(
δ
i
⊗
δ
j
)
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
4
A
i
B
j
(
δ
i
⊗
δ
j
)
{\displaystyle A\otimes B=A^{i}\delta _{i}\otimes B_{j}\delta ^{j}=A^{i}B_{j}\;(\delta _{i}\otimes \delta ^{j})=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{4}A^{i}B_{j}\;(\delta _{i}\otimes \delta ^{j})}
=
[
A
1
B
1
A
1
B
2
A
1
B
3
A
1
B
4
A
2
B
1
A
2
B
2
A
2
B
3
A
2
B
4
A
3
B
1
A
3
B
2
A
3
B
3
A
3
B
4
]
=
C
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}A^{1}B_{1}&A^{1}B_{2}&A^{1}B_{3}&A^{1}B_{4}\\A^{2}B_{1}&A^{2}B_{2}&A^{2}B_{3}&A^{2}B_{4}\\A^{3}B_{1}&A^{3}B_{2}&A^{3}B_{3}&A^{3}B_{4}\end{bmatrix}}={C}}
Tenzorski produkt dveh tenzorjev reda 2 (matrike)
uredi
Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 2, ki so matrike , se določijo posamezne komponente takole
(
T
_
_
⊗
G
_
_
)
k
l
i
j
=
A
k
l
i
j
=
T
i
j
G
k
l
{\displaystyle {\begin{aligned}({\underline {\underline {T}}}\otimes {\underline {\underline {G}}})_{\ \ kl}^{ij}&=A_{\ \ kl}^{ij}\\&=T^{ij}G_{kl}\end{aligned}}}
Tenzorski produkt pa lahko zapišemo kot
T
⊗
G
=
T
i
j
(
δ
i
⊗
δ
j
)
⊗
G
k
l
(
δ
k
⊗
δ
l
)
=
T
i
j
G
k
l
(
δ
i
⊗
δ
j
⊗
δ
k
⊗
δ
l
)
=
A
{\displaystyle {\begin{aligned}{T}\otimes {G}&=T^{ij}\;(\delta _{i}\otimes \delta _{j})\otimes G_{kl}\;(\delta ^{k}\otimes \delta ^{l})\\&=T^{ij}G_{kl}\;(\delta _{i}\otimes \delta _{j}\otimes \delta ^{k}\otimes \delta ^{l})\\&={A}\end{aligned}}}
kjer je
Tenzorski produkt dveh tenzorjev
uredi
Če sta
M
{\displaystyle M\,}
G
{\displaystyle G\,}
kovariantna tenzorja potem je njun tenzorski produkt enak
(
F
⊗
G
)
i
1
i
2
.
.
.
i
m
+
n
=
F
i
1
i
2
.
.
.
i
m
G
i
m
+
1
i
m
+
2
i
m
+
3
.
.
.
i
m
+
n
.
{\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}...i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}...i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}...i_{m+n}}.}
To pa pomeni, da je tenzorski produkt enak običajnemu zmnožku posameznih komponent vsakega tenzorja.
Zgled:
Naj bo
U
{\displaystyle U\,}
U
β
α
{\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }\,}
V
{\displaystyle V\,}
V
γ
{\displaystyle V^{\gamma }\,}
U
β
α
V
γ
=
(
U
⊗
V
β
α
)
γ
{\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }V^{\gamma }=(U\otimes V_{\beta }^{\alpha })^{\gamma }\,}
V
μ
U
ν
σ
=
(
V
⊗
U
)
μ
ν
σ
.
{\displaystyle V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }.}
Tenzorski produkt ohrani vse indeksi tako, kot jih imajo posamezni faktorji .
Kroneckerjev produkt
uredi
Tenzorski produkt dveh matrik se imenujemo tudi Kroneckerjev produkt .
Primer:
U
⊗
V
=
[
u
1
,
1
V
u
1
,
2
V
⋯
u
2
,
1
V
u
2
,
2
V
⋮
⋱
]
=
[
u
1
,
1
v
1
,
1
u
1
,
1
v
1
,
2
⋯
u
1
,
2
v
1
,
1
u
1
,
2
v
1
,
2
⋯
u
1
,
1
v
2
,
1
u
1
,
1
v
2
,
2
u
1
,
2
v
2
,
1
u
1
,
2
v
2
,
2
⋮
⋱
u
2
,
1
v
1
,
1
u
2
,
1
v
1
,
2
u
2
,
1
v
2
,
1
u
2
,
1
v
2
,
2
⋮
]
.
{\displaystyle U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{1,1}V&u_{1,2}V&\cdots \\u_{2,1}V&u_{2,2}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1,1}v_{1,1}&u_{1,1}v_{1,2}&\cdots &u_{1,2}v_{1,1}&u_{1,2}v_{1,2}&\cdots \\u_{1,1}v_{2,1}&u_{1,1}v_{2,2}&&u_{1,2}v_{2,1}&u_{1,2}v_{2,2}\\\vdots &&\ddots \\u_{2,1}v_{1,1}&u_{2,1}v_{1,2}\\u_{2,1}v_{2,1}&u_{2,1}v_{2,2}\\\vdots \end{bmatrix}}.}
Tenzorski produkt dveh matrik
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2\,}
[
a
1
,
1
a
1
,
2
a
2
,
1
a
2
,
2
]
⊗
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
]
=
[
a
1
,
1
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
]
a
1
,
2
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
]
a
2
,
1
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
]
a
2
,
2
[
b
1
,
1
b
1
,
2
b
2
,
1
b
2
,
2
]
]
=
[
a
1
,
1
b
1
,
1
a
1
,
1
b
1
,
2
a
1
,
2
b
1
,
1
a
1
,
2
b
1
,
2
a
1
,
1
b
2
,
1
a
1
,
1
b
2
,
2
a
1
,
2
b
2
,
1
a
1
,
2
b
2
,
2
a
2
,
1
b
1
,
1
a
2
,
1
b
1
,
2
a
2
,
2
b
1
,
1
a
2
,
2
b
1
,
2
a
2
,
1
b
2
,
1
a
2
,
1
b
2
,
2
a
2
,
2
b
2
,
1
a
2
,
2
b
2
,
2
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\&\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}
Tenzorski produkt multilinearne preslikave
uredi
Če imamo dve multilinearni preslikavi
f
(
x
1
,
…
,
x
k
)
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})\,}
g
(
x
1
,
…
,
x
m
)
{\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})\,}
(
f
⊗
g
)
(
x
1
,
…
,
x
k
+
m
)
=
f
(
x
1
,
…
,
x
k
)
g
(
x
k
+
1
,
…
,
x
k
+
m
)
.
{\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}
Zunanje povezave
uredi
