Kovarianca (oznaka
C
o
v
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov(X,Y)} \,}
, včasih tudi
σ
X
Y
{\displaystyle \sigma _{XY}\,}
) je merilo, s katerim določamo, kako sta dve naključni spremenljivki povezani. Poseben primer kovariance je varianca , ki pa opisuje spreminjanje dveh spremenljivk, ki sta identični.
Kovarianca med dvema realnima slučajnima spremenljivkama
X
{\displaystyle X\,}
in
Y
{\displaystyle Y\,}
s končnim drugim momentom , je določena kot:
Cov
(
X
,
Y
)
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
(
Y
−
E
[
Y
]
)
]
,
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}\!\,,}
kjer je:
E
(
X
)
{\displaystyle E(X)\,}
pričakovana vrednost spremenljivke
X
{\displaystyle X\,}
.
X
{\displaystyle X\,}
(z razsežnostjo
m
×
1
{\displaystyle m\times 1\,}
) in
Y
{\displaystyle Y\,}
(z razsežnostjo
n
×
1
{\displaystyle n\times 1\,}
) sta slučajni spremenljivki.
Zgornji obrazec lahko zapišemo tudi kot:
Cov
(
X
,
Y
)
=
E
[
X
Y
]
−
E
[
X
]
⋅
E
[
Y
]
.
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}XY{\big ]}-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]\!\,.}
Slučajne spremenljivke, ki imajo kovarianco enako 0, so nekorelirane .
Merska enota za kovarianco je enaka zmnožku merske enote za prvo slučajno spremenljivko in merske enote za drugo slučajno spremenljivko. Korelacija pa je brezrazsežna .
Cov
(
X
,
a
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,a)=0\,}
Cov
(
X
,
X
)
=
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,}
Cov
(
X
,
Y
)
=
Cov
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,}
Cov
(
a
X
,
b
Y
)
=
a
b
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,}
Cov
(
X
+
a
,
Y
+
b
)
=
Cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X+a,Y+b)=\operatorname {Cov} (X,Y)\,}
Cov
(
a
X
+
b
Y
,
c
W
+
d
V
)
=
a
c
Cov
(
X
,
W
)
+
a
d
Cov
(
X
,
V
)
+
b
c
Cov
(
Y
,
W
)
+
b
d
Cov
(
Y
,
V
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov} (X,W)+ad\,\operatorname {Cov} (X,V)+bc\,\operatorname {Cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov} (Y,V)\,}
kjer so (velja za vse značilnosti):
X
,
Y
,
W
,
V
{\displaystyle X,Y,W,V\,}
realne slučajne spremenljivke
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d\,}
so konstante (niso slučajne spremenljivke)
V
a
r
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var(X)} \,}
varianca
Za zaporedje
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\,}
in
Y
1
,
…
,
Y
n
{\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n}\,}
velja:
Cov
(
∑
i
=
1
n
X
i
,
∑
j
=
1
m
Y
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
Cov
(
X
i
,
Y
j
)
.
{\displaystyle \operatorname {Cov} \left(\sum _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{j=1}^{m}{Y_{j}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{m}{\operatorname {Cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}\!\,.}
Velja pa tudi:
Var
(
∑
i
=
1
n
a
i
X
i
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
2
Var
(
X
i
)
+
2
∑
i
,
j
:
i
<
j
a
i
a
j
Cov
(
X
i
,
X
j
)
.
{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {Var} (X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})\!\,.}
kjer so:
a
1
,
…
a
n
{\displaystyle a_{1},\dots a_{n}\,}
konstante .
Kadar sta
X
{\displaystyle X\,}
in
Y
{\displaystyle Y\,}
neodvisna, je njuna kovarianca enaka nič. Zaradi tega velja:
E
(
X
⋅
Y
)
=
E
(
X
)
⋅
E
(
Y
)
.
{\displaystyle \operatorname {E} (X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)\!\,.}
Velja tudi Cauchy-Schwarzeva neenakost :
|
Cov
(
X
,
Y
)
|
≤
Var
(
X
)
Var
(
Y
)
.
{\displaystyle |\operatorname {Cov} (X,Y)|\leq {\sqrt {\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)}}\!\,.}