Obratna Fibonaccijeva konstanta

Obratna Fibonaccijeva konstanta (oznaka ψ) je v matematiki konstanta in je določena kot vsota obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil:

Razmerje zaporednih členov vsote konvergira k obratni vrednosti števila zlatega reza Φ. Ker je ta manjša od 1, d'Alembertov kriterij pokaže, da vsota konvergira.

Vrednost ψ je približno (OEIS A079586):

Ni znana nobena sklenjena enačba za ψ. Gosper je opisal algoritem za hitri izračun njenih približkov.[opomba 1][1] ψ je iracionalno število. To so domnevali Erdős, Graham in Carlitz, dokazal pa Richard André-Jeannin leta 1989.[2]

Neskončni verižni ulomek obratne Fibonaccijeve konstante je (OEIS A079587):

Ker obratna Fibonaccijeva konstanta ψ ni kvadratno iracionalno število, njen verižni ulomek ni periodičen.

Opombe

uredi
  1. Vrsta vsote obratnih vrednosti Fibonaccijevih števil da za k členov v razvoju O(k) decimalnih števk, Gosperjeva vrsta da O(k2) števk.

Sklici

uredi
  • André-Jeannin, Richard (1989), »Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes«, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 308 (19): 539–541, MR0999451
  • Gosper, William R. (1974), Acceleration of Series, Artificial Intelligence Memo #304, Laboratorij za umetno inteligenco, Tehnološki inštitut Massachusettsa

Zunanje povezave

uredi