Lagrangeevo število

Lagrangeeva števila so v matematiki zaporedja števil, ki se pojavljajo v mejah pri aproksimaciji iracionalnih števil z racionalnimi števili. Z njimi je povezan Hurwitzev izrek.

DefinicijaUredi

Hurwitz je izboljšal Dirichletov kriterij iracionalnosti v izjavo, da je realno število   iracionalno če in samo če obstaja neskončno mnogo takšnih racionalnih števil  , zapisanih okrajšano, da velja:

 

To je izboljšava Dirichletovega rezultata, ki je imel na desni strani člen  . Hurwitzeva vrednost je najboljša možna, ker je število zlatega reza   iracionalno, vendar, če se v zgornjem izrazu √5 zamenja s poljubnim večjim številom, bo moč najti le končno mnogo racionalnih števil, za katere velja neenakost za  .

Hurwitz je pokazal tudi, da če se   ne upošteva, in se iz njega izpeljejo števila, se lahko poveča število √5. Pokazal je, da se ga lahko nadomesti s številom 2√2. Spet je sedaj ta meja najboljša možna v novem primeru, vendar je sedaj problem število √2. Če število √2 ni dovoljeno, se lahko na desni strani neenakosti poviša s števila 2√2 na (√221)/5. Ta ponavljajoči proces da neskončno zaporedje števil, ki konvergirajo k 3.[1] Ta števila se imenujejo Lagrangeeva števila[2] po Josephu Louisu Lagrangeu. Prva Lagrangeeva števila so:

  (OEIS A002163),
  (OEIS A010466),
  (OEIS A200991),
 

Povezava s števili MarkovaUredi

n-to Lagrangeevo število   je dano z:

 

kjer je   n-to število Markova,[3], to je takšno n-to najmanjše število m, da ima kvadratna enačba Markova:

 

rešitev v pozitivnih celih številih   in  .

Glej tudiUredi

SkliciUredi

  1. Cassels (1957), str. 14.
  2. Conway; Guy (1996), str. 187-189.
  3. Cassels (1957), str. 41.

ViriUredi

  • Cassels, John William Scott (1957), An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45, Cambridge University Press, Zbl 0077.04801
  • Conway, John Horton; Guy, Richard Kenneth (1996), The Book of Numbers, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97993-X

Zunanje povezaveUredi