Kvadratno iracionalno število

Kvadrátno iracionálno števílo (redkeje tudi kvadrátni súrd) je v matematiki algebrsko iracionalno število, ki je rešitev kakšne kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Ker se lahko iz kvadratne enačbe ulomke poniči z množenjem obeh strani z njihovima skupnima imenovalcema, se lahko reče, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:

kx^{2}+mx+n=0\!\,

s celimi koeficienti $k\,$ , $m\,$ in $n\,$ in z od nič različno diskriminanto $m^{2}-4kn\,$ . Kvadratna iracionalna števila so oblike:

{\sqrt {c}},\qquad (c>1)\!\,

za cela števila c deljiva brez kvadrata. Vsako kvadratno iracionalno število pa se lahko v splošnem zapiše kot:

{\frac {a\pm b{\sqrt {c}}}{d}},\qquad a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\qquad (a,b>0,c>1,d\neq 0,d|a^{2}-c)\!\,,

kjer $c\,$ ni popolni kvadrat.

To pomeni, da je moč njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega števno neskončna.

Kvadratna iracionalna števila z danim $c\,$ tvorijo obseg, ki se imenuje kvadratni obseg.

Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil

Enočlene oblike

Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z verižnimi ulomki. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek periodičen. Na primer števila deljiva brez kvadrata:

{\sqrt {2}}=1,4142\ldots =[1;2,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {3}}=1,7320\ldots =[1;1,2,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {5}}=2,2360\ldots =[2;4,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {6}}=2,4494\ldots =[2;2,4,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {7}}=2,6457\ldots =[2;1,1,1,4,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {10}}=3,1622\ldots =[3;6,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {11}}=3,3166\ldots =[3;3,6,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {13}}=3,6055\ldots =[3;1,1,1,1,6,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {14}}=3,7416\ldots =[3;1,2,1,6\ldots ]\!\,,

{\sqrt {15}}=3,8729\ldots =[3;1,6,\ldots ]\!\,.

ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila (OEIS A051144):

{\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=2,8284\ldots =[2;1,4,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {12}}=2{\sqrt {3}}=3,4641\ldots =[3;2,6,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {18}}=3{\sqrt {2}}=4,2426\ldots =[4;4,8,\ldots ]\!\,,

{\sqrt {20}}=2{\sqrt {5}}=4,4721\ldots =[4;2,8,\ldots ]\!\,.

Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, palindromni niz števk:

prazen za števila oblike $c=n^{2}+1;\ n>0\!\,$ (OEIS A002522): ${\sqrt {2}}\!\,$ , ${\sqrt {5}}\!\,$ , ${\sqrt {10}}\!\,$ , ${\sqrt {17}}\!\,$ , ${\sqrt {26}}\!\,$ , ${\sqrt {37}}\!\,$ , ${\sqrt {50}}\!\,$ , ${\sqrt {65}}\!\,$ , ..., od katerih so praštevila (OEIS A002496): ${\sqrt {2}}\!\,$ , ${\sqrt {5}}\!\,$ , ${\sqrt {17}}\!\,$ , ${\sqrt {37}}\!\,$ , ${\sqrt {101}}\!\,$ , ${\sqrt {197}}\!\,$ , ${\sqrt {257}}\!\,$ , ... in sestavljena (OEIS A134406): ${\sqrt {10}}\!\,$ , ${\sqrt {26}}\!\,$ , ${\sqrt {50}}\!\,$ , ${\sqrt {65}}\!\,$ , ${\sqrt {82}}\!\,$ , ${\sqrt {122}}\!\,$ , ${\sqrt {145}}\!\,$ , ${\sqrt {170}}\!\,$ , ...

Za ta števila tako velja:

{\sqrt {c}}=[a_{0};{\overline {2a_{0}}}]\!\,.

na primer 1 za ${\sqrt {3}}\,$ , 1,1,1 za ${\sqrt {7}}\,$ , 1,2,1 za ${\sqrt {14}}\,$ , ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike $n^{2}+1\,$ , imajo neprazen niz (OEIS A070303):

{\sqrt {3}}\!\,

,

{\sqrt {7}}\!\,

,

{\sqrt {11}}\!\,

,

{\sqrt {13}}\!\,

,

{\sqrt {19}}\!\,

,

{\sqrt {23}}\!\,

,

{\sqrt {29}}\!\,

,

{\sqrt {31}}\!\,

,

{\sqrt {41}}\!\,

,

{\sqrt {43}}\!\,

,

{\sqrt {47}}\!\,

,

{\sqrt {53}}\!\,

,

{\sqrt {59}}\!\,

,

{\sqrt {61}}\!\,

,

{\sqrt {67}}\!\,

, ...

V splošnem tako velja:

{\sqrt {c}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}]\!\,.

Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom (OEIS A124809):

{\sqrt {50}}=7,0710\ldots =[7;{\overline {2\cdot 7}}]\!\,,

{\sqrt {325}}=18,0277\ldots =[18;{\overline {2\cdot 18}}]\!\,,

{\sqrt {1025}}=32,0156\ldots =[32;{\overline {2\cdot 32}}]\!\,,

{\sqrt {1445}}=38,0131\ldots =[38;{\overline {2\cdot 38}}]\!\,,

itd.

Števila, katerih perioda se začne:

z 2 (OEIS A065005): ${\sqrt {2}}\!\,$ , ${\sqrt {6}}\!\,$ , ${\sqrt {12}}\!\,$ , ${\sqrt {19}}\!\,$ , ${\sqrt {20}}\!\,$ , ${\sqrt {29}}\!\,$ , ${\sqrt {30}}\!\,$ , ...,

s 3 (OEIS A065006): ${\sqrt {11}}\!\,$ , ${\sqrt {28}}\!\,$ , ${\sqrt {40}}\!\,$ , ${\sqrt {53}}\!\,$ , ${\sqrt {69}}\!\,$ , ${\sqrt {86}}\!\,$ , ${\sqrt {87}}\!\,$ , ...,

s 4 (OEIS A065007): ${\sqrt {5}}\!\,$ , ${\sqrt {18}}\!\,$ , ${\sqrt {39}}\!\,$ , ${\sqrt {52}}\!\,$ , ${\sqrt {68}}\!\,$ , ${\sqrt {85}}\!\,$ , ${\sqrt {105}}\!\,$ , ...,

s 5 (OEIS A065008): ${\sqrt {27}}\!\,$ , ${\sqrt {67}}\!\,$ , ${\sqrt {104}}\!\,$ , ${\sqrt {1255}}\!\,$ , ${\sqrt {174}}\!\,$ , ${\sqrt {201}}\!\,$ , ${\sqrt {231}}\!\,$ , ...,

s 6 (OEIS A065009): ${\sqrt {10}}\!\,$ , ${\sqrt {38}}\!\,$ , ${\sqrt {84}}\!\,$ , ${\sqrt {103}}\!\,$ , ${\sqrt {148}}\!\,$ , ${\sqrt {173}}\!\,$ , ${\sqrt {230}}\!\,$ , ...,

s 7 (OEIS A065010): ${\sqrt {51}}\!\,$ , ${\sqrt {124}}\!\,$ , ${\sqrt {200}}\!\,$ , ${\sqrt {229}}\!\,$ , ${\sqrt {329}}\!\,$ , ${\sqrt {366}}\!\,$ , ${\sqrt {447}}\!\,$ , ...,

z 8 (OEIS A065011): ${\sqrt {17}}\!\,$ , ${\sqrt {66}}\!\,$ , ${\sqrt {147}}\!\,$ , ${\sqrt {172}}\!\,$ , ${\sqrt {260}}\!\,$ , ${\sqrt {293}}\!\,$ , ${\sqrt {405}}\!\,$ , ...,

z 9 (OEIS A065012): ${\sqrt {83}}\!\,$ , ${\sqrt {199}}\!\,$ , ${\sqrt {328}}\!\,$ , ${\sqrt {365}}\!\,$ , ${\sqrt {534}}\!\,$ , ${\sqrt {581}}\!\,$ , ${\sqrt {735}}\!\,$ , ...

Dvočlene oblike

Druga kvadratna iracionalna števila, kjer $c\,$ ni kvadratno število:

(1+{\sqrt {2}})/2=1,2071\ldots =[1;4,1,\ldots ]\!\,,

(1+{\sqrt {3}})/2=1,3660\ldots =[1;2,1,\ldots ]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/2=1,6180\ldots =[1;1,\ldots ]\equiv [1;{\overline {1}}]\!\,

(število zlatega reza),

(1+{\sqrt {2}})/3=0,8047\ldots =[0;1,{\overline {4,8}}]\!\,,

(1+{\sqrt {3}})/3=0,9106\ldots =[0;1,{\overline {10,5}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/3=1,0786\ldots =[1;{\overline {12,1,2,2,2,1}}]\!\,,

(1+{\sqrt {2}})/5=0,4828\ldots =[0;2,{\overline {1,4}}]\!\,,

(1+{\sqrt {3}})/5=0,5464\ldots =[0;1,{\overline {1,4,1,7}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/5=0,6472\ldots =[0;1,{\overline {1,1,1,5,22,5}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/6=0,5393\ldots =[0;1,{\overline {1,5}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/7=0,4622\ldots =[0;2,{\overline {6,7,1,1,1,30,1,1,1,7}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/8=0,4045\ldots =[0;2,{\overline {2,8}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/9=0,3595\ldots =[0;2,{\overline {1,3,1,1,3,9}}]\!\,,

(1+{\sqrt {5}})/10=0,3236\ldots =[0;3,{\overline {11}}]\!\,,

(2+{\sqrt {5}})/2=2,1180\ldots =[2;{\overline {8,2}}]\!\,,

(42+{\sqrt {2}})/42=1,0336\ldots =[1;29,{\overline {1,2,3,6,3,2,1,58}}]\!\,,

(42+{\sqrt {42}})/42=1,1543\ldots =[1;6,{\overline {2,12}}]\!\,,

(4242+{\sqrt {4242}})/4242=1,0153\ldots =[1;65,{\overline {7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}}]\!\,...

Če je $c\,$ kvadratno število in $d>1\,$ , je dano število racionalno, njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:

(2+{\sqrt {4}})/5=4/5=0,8=[0;1,4]\!\,,

(41+{\sqrt {1764}})/42=83/42=1,9{\overline {761904}}=[1;1,41]\!\,.

To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala Lagrange (1770) in Legendre, pred njima pa je obrat dokazal Euler z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov – če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.