Kovariančna matrika

Kovariančna matrika (oznaka ) (tudi variančno-kovariančna matrika) je matrika, katere elementi so kovariance i-tega in j-tega elementa vektorja slučajne spremenljivke.

DefinicijaUredi

Označimo z   stolpični vektor

 

kjer so   posamezne komponente slučajne spremenljivke, ki imajo končno varianco.

Kovariančna matrika  , ki ima za elemente kovariance tako, da je

 

kjer je

  •   pričakovana vrednost za i-to komponento vektorja  .
  •   kovarianca elementov   in  .

Iz tega sledi, da kovariančno matriko lahko zapišemo kot

 .

Obratno matriko kovariančne matrike   imenujejo tudi matrika natančnosti.

Kovariančno matriko imenujemo tudi variančno-kovariančna matrika, ker velja

 

kjer je

  •   varianca vektorja  
  •   kovarianca komponent   in  
  •   varianca n-te komponente vektorja (na glavni diagonali so same variance, izven diagonale pa so kovariance). Zaradi tega ima matrika tudi ime variančno-kovariančna matrika.

Posplošitev varianceUredi

Zgornja definicija je enakovredna zapisu

 .

Ta zapis lahko smatramo za posplošitev skalarne oblike variance na višje razsežnosti. Pri tem velja za slučajno spremenljivko s skalarnimi vrednostmi

 

kjer je

  •  

LastnostiUredi

Za kovariančno matriko  

  •  
  •   je pozitivno semidefinitna matrika (to pomeni, da je simetrična).
  •  
  •  
  •  
  • kadar velja p = q, potem je  
  •  
  • kadar sta   in   neodvisna, velja tudi  .

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi