Gompertzeva konstanta

Gompertzeva konstanta ali Euler-Gompertzeva konstanta (označba $G\,$) je v matematiki konstanta, ki se pojavlja pri vrednostih nekaterih integralov in specialnih funkcij. Imenuje se po angleškem matematiku Benjaminu Gompertzu in Leonhardu Eulerju.

Definicija

Lahko se definira z verižnim ulomkom:

$G={\cfrac {1}{2-{\cfrac {1^{2}}{4-{\cfrac {2^{2}}{6-{\cfrac {3^{2}}{8-{\cfrac {4^{2}}{10-{\cfrac {5^{2}}{12-{\cfrac {6^{2}}{14-{\cfrac {7^{2}}{16-\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}\!\,,$

ali drugače:

$G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1+{\cfrac {3}{1+4{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}\!\,.$

$G\,$ se največkrat pojavi v naslednjih integralih:

$G=\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\log x}}\mathrm {d} x\!\,.$

Vrednost konstante $G\,$ je: (OEIS A073003)

$G=0,596347362323194074341078499369279376074177\ldots \!\,$

Euler je pri raziskovanju divergentnih neskončnih vrst naletel na $G\,$ prek zgornjih integralskih izrazov. Le Lionnais jo je imenoval Gompertzeva konstanta zaradi njene vloge v preživetveni analizi.

Izrazi z Gompertzevo konstanto

Konstanta $G\,$ se lahko izrazi z eksponentnim integralom kot:

$G=-e\operatorname {Ei} (-1)\!\,.$

Z razvojem funkcije $\operatorname {Ei} \,$ v Taylorjevo vrsto velja:

$G=-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right)\!\,.$

Gompertzeva konstanta je povezana z Gregoryjevimi koeficienti z Mezőjevo formulo iz leta 2013:

$G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}\!\,.$

Viri

• Finch, Steven R. (2003), Mathematical Constants, Cambridge University Press
• Mező, István (2013), »Gompertz constant, Gregory coefficients and a series of the logarithm function«, Journal of Analysis and Number Theory (7): 1–4

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »GompertzConstant«. MathWorld.