Devetinpetdeset ikozaedrov

Devetinpetdeset ikozaedrov je knjiga, ki so je napisali in ilustrirali Coxeter (1907-2003) in Du Val (1903-1987), V. T. Flather in Petrie. Oštevilčili so večje število stelacij pravilnih konveksnih ali platonskih ikozaedrov v skladu s pravili, ki jih je postavil Miller.

Diagram stelacije ikozaedra z osrednjim trikotnikom, kjer je označen prvotni ikozaeder.

Najprej je bila izdana na Univerzi v Torontu v letu 1938, drugo izdajo je pripravil Springer-Verlag v letu 1982. K. In D. Crennell sta obnovila besedilo in ponovno narisala diagrame za Tarqiunovo tretjo izdajo v letu 1999. Dodala sta še nekaj snovi in fotografij.

Prispevki avtorjevUredi

Millerjeva pravilaUredi

Čeprav Miller (1906-1981) ni neposredno prispeval h knjigi, je bil močan prijatelj Coxeterja in Petrieja. Njegov prispevek je postal nesmrten s skupino pravil za definicijo oblik stelacije in se jih lahko obravnava kot »posebno pomembne:«

(i) Stranske ploskve morajo ležati v dvanajstih ravninah, to pa so povezovalne ravnine pravilnega ikozaedra.
(ii) Vsi deli, ki sestavljajo stranske ploskve morajo biti v isti ravnini, čeprav so nepovezani.
(iii) Vsi deli, ki so vključeni v eno ravnino morajo imeti trigonalno simetrijo brez ali z zrcaljenja. To zagotavlja ikozaedersko simetrijo celega telesa.
(iv) Vsi iz ene ravnine morajo biti »dosegljivi« v celotnem telesu (to pa pomeni, da morajo biti »zunanji.« V nekaterih primerih to zahteva ogromne modele, da bi se videla celotna zunanjost. Z modeli običajne velikosti so nekateri deli »zunaj.«
(v) Ne obravnavamo pa primerov, kjer lahko dele delimo v dve skupini, ki dasta telesu, lastnost, da ima vsak del toliko simetrije kot celotno telo. Dovolimo pa kombinacijo enenciomorfnih parov, ki nimajo skupnega dela, kar se pojavlja samo v enem primeru.

Pravila (I) do (III) so zahteve po simetriji za ravnine stranskih ploskev. Pravilo (IV) izključuje zakopane skrite luknje, tako, da nobeni dve stelaciji na zunaj ne izgledata enako. Pravilo (V) preprečuje, da bi nastali poljubni nepovezani sestavi enostavnejših stelacij.

CoxeterUredi

Coxeter je bil glavna gonilna sila pri svojem delu. Izdelal je analizo Millerjevih pravil in pri tem uporabil večje število tehnik, kot so kombinatorika in abstraktna teorija grafov. Uporaba teh tehnik v geometrijskem okolju je bila takrat novost.

Opazil je, da diagrami stelacije uporabljajo mnoge segmente premic. Razvil je postopek za delo s kombinacijo sosednjih področij ravnin. Pri tem je oštevilčil dovoljene kombinacije, ki jih dovoljujejo Millerjeva pravila.

Njegova slika, ki je prikazana tukaj, prikazuje različne stranske ploskve, ki jih najdemo v diagramu stelacije (glej spodaj). Grški simboli predstavljajo množico možnih alternativ:

λ je lahko 3 ali 4
μ je lahko 7 ali 8
ν je lahko 11 ali 12

Du ValUredi

Du Val je prispeval simbolično označevanje za določanje množice skladnih celic, ki so osnovane na opažanjih, da ležijo v »lupinah« okrog prvotnega ikozaedra. Na osnovi tega je preizkusil vse možne kombinacije Millerjevih pravil in s tem je potrdil Coxeterjev bolj analitični pristop.

FlatherUredi

Flatherjev prispevek je bil bolj posreden. Pripravil je modele vseh devetinpetdesetih ikozaedrov. Ko je prvič srečal Coxeterja je že izdelal mnoge stelacije vključno z neMillerjevimi primeri. Dodal je še popolno skupino devetinpetdesetih ikozaedrov, ki so bili ohranjeni v matematični knjižnici Univerze v Cambridgu na Angleškem. Knjižnica je imela tudi nekaj neMillerjevih modelov, toda ni jasno kateri od njih je naredil Flather in katere Millerjevi študentje [1].

PetrieUredi

John Flinders Petrie je bil dolgoletni Coxetrov prijatelj. Tako je imel možnost spoznati štirirazsežno geometrijo. On in Coxeter sta delala skupaj na mnogih metematičnih problemih. Njegov prispevek k devetinpetdesetim ikozaedrom je bil v mnogih brezštevilnih množicah trirazsežnih risb, ki so občudovanja vredne.

CrennelaUredi

Za tretjo izdajo sta Kate in David Crennell popolnoma obnovila besedilo ter ponovno narisala slike in diagrame.

 
Diagram stelacije z oštevilčenimi celicami
 
Diagram celic z Du Valovo notacijo za celice

Pregled devetinpedesetih ikozaedrovUredi

Pred Coxeterjem sta samo Brückner in Wheeler opazila pomembno množico stelacij, čeprav jih je bilo prej znanih zelo malo. Po izdaji dela Devetinpetdeset je Wenninger objavil navodila za izdelavo nekaterih modelov. Številčenje v tej knjigi je postalo široko uporabljano, čeprav je bilo v njem omenjenih samo nekaj stelacij.

OpombeUredi

Števike indeksov so Crennellove, če ni drugače zapisano.

CrennellUredi

V številčenju, ki je bilo dodano tretji izdaji, je Creenell prvih 32 oblik in zrcalnih modelov ter zadnjih 27 je kiralnih, ki imajo samo desne oblike. To je posledica reda v katerem so stelacije prikazane v knjigi.

CeliceUredi

V Du Valovi notaciji je vsaka lupina zapisana v mastnem tisku, to je a, b, c, ..., h kjer je a prvotni ikozaeder. Nekatere lupine se delijo v dve skupini celic, kot na primer e vključuje e1 in e2. Množica f1 se deli še na desno-sučne in levo-sučne oblike

Stranske ploskveUredi

Vse stelacije se lahko izrazijo s pomočjo diagrama stelacije. V diagramu, ki je prikazan, barve označujejo področja

WheellerUredi

Wheeller je našel obliko ikozaedra, tako, da je izbral segmente premice iz diagrama stelacije. Ločil je med Keplerjevo in klasičnim postopkom stelacije. Coxeter je s sodelavci prezrl to razliko in je obravnaval vse kot stelacije.

BrücknerUredi

Brückner je naredil in fotografiral modele mnogih poliedrov. Od njih jih je bilo bolj malo ikozaedrov.

OpombeUredi

Številka 8 se včasih imenuje ehinaeder, ki ima ime po navidezni podobnosti s kljunatim ježkom. Ta uporaba izraza je neodvisna od Keplerjevega opisa tega pravilnega zvezdnega poliedra, ki ga on imenuje ehidna in spada v red kljunatih ježkov.

Crennell VRML Celice Stranska ploskev Wenninger Wheeler Brückner Opombe Stranske ploskve Slika 3D
1 [1] A 0 04
ikozaeder
1 platonski ikozaeder    
2 [2] B 1 26
triakisni ikozaeder
2 tabela VIII, slika 2 prva stelacija ikozaedra,
mali triambski ikozaeder,
ali triakisikozaeder
   
3 [3] C 2 23
sestav petih oktaedrov
3 tabela IX, slika 6 pravilni poliedrski sestav sestav petih oktaedrov    
4 [4] D 3 4 99 4 tabela IX, slika 17    
5 ikozaeder_(5)_(5_color).wrl od dne september 2022[slepa povezava] E 5 6 7 99 99  
6 ikozaeder_(6)_(5_color).wrl od dne september 2022[slepa povezava] F 8 9 10 27
druga stelacija
19    
7 stellated_icosahedron_(7)_(5_color).wrl od dne september 2022[slepa povezava] G 11 12 41
veliki ikozaeder
11 tabela XI, slika 24 veliki ikozaeder    
8 [5] H 13 42
končna stelacija
12 tabela XI, slika 14 končna stelacija ikozaedra ali ehinaeder    
9 [6] e1 3' 5 37
dvanajsta stelacija
99    
10 [7] f1 5' 6' 9 10 99 99  
11 [8] g1 10' 12 29
četrta stelacija
21    
12 [9] e1f1 3' 6' 9 10 99 99  
13 [10] e1f1g1 3' 6' 9 12 99 20  
14 [11] f1g1 5' 6' 9 12 99 99  
15 [12] e2 4' 6 7 99 99  
16 [13] f2 7' 8 99 22  
17 [14] g2 8' 9' 11 99 99  
18 [15] e2f2 4' 6 8 99 99  
19 [16] e2f2g2 4' 6 9' 11 99 99  
20 [17] f2g2 7' 9' 11 30
peta stelacija
99    
21 [18] De1 4 5 32
sedma stelacija
10    
22 [19] Ef1 7 9 10 25
sestav desetih tetraedrov
8 tabela IX, slika 3 pravilni poliedrski sestav sestav desetih tetraedrov    
23 [20] Fg1 8 9 12 31
šesta stelacija
17 tabela X, slika 3    
24 [21] De1f1 4 6' 9 10 99 99  
25 [22] De1f1g1 4 6' 9 12 99 99  
26 [23] Ef1g1 7 9 12 28
tretja stelacija
9 tabela VIII, slika 26 izkopani dodekaeder    
27 [24] De2 3 6 7 99 5  
28 [25] Ef2 5 6 8 99 18 tabela IX, slika 20    
29 [26] Fg2 10 11 33
osma stelacija
14    
30 [27] De2f2 3 6 8 34
deveta stelacija
13 srednji triambski ikozaeder ali
veliki triambski ikozaeder
   
31 [28] De2f2g2 3 6 9' 11 99 99  
32 [29] Ef2g2 5 6 9' 11 99 99  
33 [30] f1 5' 6' 9 10 35
deseta stelacija
99    
34 [31] e1f1 3' 5 6' 9 10 36
enajsta stelacija
99    
35 [32] De1f1 4 5 6' 9 10 99 99  
36 [33] f1g1 5' 6' 9 10' 12 99 99  
37 [34] e1f1g1 3' 5 6' 9 10' 12 39
štirinajsta stelacija
99    
38 [35] De1f1g1 4 5 6' 9' 10' 12 99 99  
39 [36] f1g2 5' 6' 8' 9' 10 11 99 99  
40 [37] e1f1g2 3' 5 6' 8' 9' 10 11 99 99  
41 [38] De1f1g2 4 5 6' 8' 9' 10 11 99 99  
42 [39] f1f2g2 5' 6' 7' 9' 10 11 99 99  
43 [40] e1f1f2g2 3' 5 6' 7' 9' 10 11 99 99  
44 [41] De1f1f2g2 4 5 6' 7' 9' 10 11 99 99  
45 [42] e2f1 4' 5' 6 7 9 10 40
petnajsta stelacija
99    
46 [43] De2f1 3 5' 6 7 9 10 99 99  
47 [44] Ef1 5 6 7 9 10 24
sestav petih tetraedrov
7
(6: levo-sučni)
tabela IX, slika 11 pravilni poliedrski sestav sestav petih tetraedrov (desno-sučni)    
48 [45] e2f1g1 4' 5' 6 7 9 10' 12 99 99  
49 [46] De2f1g1 3 5' 6 7 9 10' 12 99 99  
50 [47] Ef1g1 5 6 7 9 10' 12 99 99  
51 [48] e2f1f2 4' 5' 6 8 9 10 38
trinajsta stelacija
99    
52 [49] De2f1f2 3 5' 6 8 9 10 99 99  
53 [50] Ef1f2 5 6 8 9 10 99 15
(16: levo-sučni)
 
54 [51] e2f1f2g1 4' 5' 6 8 9 10' 12 99 99  
55 [52] De2f1f2g1 3 5' 6 8 9 10' 12 99 99  
56 [53] Ef1f2g1 5 6 8 9 10' 12 99 99  
57 [54] e2f1f2g2 4' 5' 6 9' 10 11 99 99  
58 [55] De2f1f2g2 3 5' 6 9' 10 11 99 99  
59 [56] Ef1f2g2 5 6 9' 10 11 99 99  

Glej tudiUredi

SkliciUredi

Zunanje povezaveUredi

  • Vzorčni primeri stelacij ikozaedra (angleško)
  • Weisstein, Eric W. "IcosahedronStellations". MathWorld.
  • Devetinpetdeset stealacij ikozaedra (angleško)
  • Stelacije ikozaedra (angleško)
  • Nekatere izgubljene stelacije ikozaedra (angleško)
  • Stelacije ikozaedra (angleško)
  • Stelacije ikozaedra v Concise Encyclopedia of Mathematics (angleško)
  • Interaktino izdelovanje stelacij poliedrov z različnimi simetrijami, Vladimir Bulatov (angleško)