Odpre glavni meni

Cauchyjev produkt

Cauchyjev prodúkt [košíjev ~] dveh zaporedij , je v matematiki nezvezna konvolucija zaporedij s katero nastane novo zaporedje , katerega splošna oblika je dana kot:

Je zaporedje, katerega povezana formalna potenčna vrsta je produkt dveh vrst, ki sta podobno povezani z in . Zaporedje se imenuje po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju.

VrsteUredi

Še posebej pomemben primer je obravnava zaporedij  , ki so členi dveh strogo formalnih (ne nujno konvergentnih vrst):

 

po navadi realnih ali kompleksnih. Potem je Cauchyjev produkt definiran z nezvezno konvolucijo kot sledi:

 

»Formalno« pomeni, da se vrste obravnavajo brez vsakršnega vprašanja o konvergenci. Ni nujno, da so vrste konvergentne.

Z analogijo s končnimi vsotami se pričakuje, da bo v primerih v katerih dve vrsti dejansko konvergirata vsota neskončne vrste:

 

enaka neskončemu produktu:

 

prav tako, če bi vsaka od pomnoženih vrst imela končno mnogo členov. To v splošnem ne velja – za posebne primere glej spodaj Mertensov in Cesàrov izrek.

Končno seštevanjeUredi

Za produkt dveh končnih vrst   in   s   velja enačba:

 

Konvergenca in Mertensov izrekUredi

Ne zamenjajte s člankom Mertensovi izreki, ki obravnavajo porazdelitev praštevil.

Naj sta   in   realni ali kompleksni zaporedji. Franz Mertens je dokazal, da, če vrsta   konvergira k  , vrsta   pa k  , in vsaj ena od njiju absolutno konvergira, potem njun Cauchyjev produkt konvergira k  .

Ni zadostno, če obe vrsti konvergirata; če sta obe zaporedji pogojno konvergentni, Cauchyjev produkt nujno ne konvergira k produktu obeh vrst, kakor kaže naslednji zgled:

ZgledUredi

Naj sta dve alternirajoči vrsti dani kot:

 

in sta le pogojno konvergentni (divegenca vrst z absolutnima vrednostima sledi iz direktega primerjalnega kriterija in divergence harmonične vrste). Členi njunega Cauchyjevega produkta so dani z:

 

Ker za vsak   veljata neenakosti   in  , za kvadratni koren v števcu sledi  , in zato, ker je   seštevancev, velja:

 

Zaradi tega   ne konvergira k nič ko gre  , in zaradi tega vrsta   po kriteriju po členih divergira.

Dokaz Mertensovega izrekaUredi

Naj vrsta   konvergira absolutno. Njene delne vsote so:

 

kjer je:

 

Potem velja:

 

S preureditvijo potem izhaja:

 

Naj je  . Ker je   po absolutni konvergenci in, ker   konvergira k  , ko gre  , obstaja takšno celo število  , da za vsa cela števila   velja:

 

(to je edino mesto kjer se uporabi asolutna konvergenca). Ker vrsta   konvergira, mora po kriteriju po členih konvergirati posamezni člen   k 0. Zato obstaja takšno celo število  , da za vsa cela števila   velja:

 

Ker tudi   konvergira k  , ko gre  , obstaja takšno celo število  , da za vsa cela števila   velja:

 

Potem se za vsa cela števila   z izrazom za   razdeli vsoto na dva dela, se uporabi trikotniška neenakost za absolutno vrednost in končno z zadnjimi tremi ocenami izhaja:

 

Po definiciji konvergence vrste je  , kot je zahtevano.

ZglediUredi

Končne vrsteUredi

Naj je   za vse   in   za vse  . Tukaj se Cauchyjev produkt vrst   in   enostavno preveri, da je  . Tako je za končne vrste, ki so končne vsote, Caushyjev produkt neposredno množenje dveh vrst.

Neskončne vrsteUredi

  • Naj je za poljubna   dana vrsta   in vrsta  . Potem je:
 

po definiciji in binomskem izreku. Ker je formalno   in  , tako velja  . Ker je limita Cauchyjevega produkta dveh absolutno konvergentnih vrst enak produktu limit vrst, tako velja formula:   za vse  .

  • V drugem zgledu naj je   za vse  . Potem je   za vse  , tako da Cauchyjev produkt   ne konvergira.

Cesàrov izrekUredi

V primerih, ko sta dve zaporedji konvergentni, ne pa tudi absolutno konvergentni, za Cauchjev produkt še vedno obstaja Cesàrova vsota. Posebej:

Če sta  ,   realni zaporedji z   in  , potem velja:

 

To se lahko posploši na primer, ko dve zaporedji nista konvergentni, in zanju obstaja samo Cesàrova vsota:

IzrekUredi

Za   in   naj za zaporedje   obstaja vsota   z vsoto   in za   ostaja vsota   z vsoto  . Potem za Cauchyjev produkt obstaja vsota   z vsoto  .

PosplošitveUredi

Vse kar sledi velja za zaporedja v   (za kompleksna števila). Cauchyjev produkt se lahko definira za vrste v   prostorih (evklidskih prostorih), kjer je množenje notranji produkt. V takšnem primeru, da če dve vrsti konvergirata absolutno, njun Cauchyjev produkt konvergira absoltno k notranjemu produktu limit.

Produkti končno mnogo neskončnih vrstUredi

Naj je   takšen, da je   (dejansko naslednje velja tudi za  , vendar izjava v tem primeru postane trivialna), in naj je   neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen  -ti konvergirajo absolutno,  -ti pa konvergira. Potem vrsta:

 

konvergira in velja:

 

Ta izjava se lahko dokaže z indukcijo prek  : primer za   je enak trditvi o Cauchyjevem produktu. To je osnova indukcije.

Korak indukcije poteka kot sledi: naj je trditev resnična za  , tako da je  , in naj je   neskončna vrsta s kompleksnimi koeficienti, od katerih vsi razen  -ti konvegirajo absolutno,  -ti pa konvergira. Najprej se izvede indukcijska domneva za vrsto  . Izhaja, da vrsta:

 

konvergira, in zato po trikotniški neenakosti in vmesnem kriteriju vrsta:

 

konvergira, ter tako vrsta:

 

konvergira absolutno. Tako po indukcijski domnevi, Mertensovem izreku in preimenovanju spremenljivk velja:

 

Zato formula velja tudi za  .

Povezava s konvolucijo funkcijUredi

Lahko se definira tudi Cauchyjev produkt za dvomljivo neskončna zaporedja kot funkcije v  . V takšnem primeru Cauchyjev produkt ni vedno definiran: Cauchyjev produkt konstantnega zaporedja 1 s samim seboj   na primer ni definiran. To ne izhaja za posamezna neskončna zaporedja, saj so njihove vsote končne.

Lahko obstajajo pari – na primer produkta končnega zaporedja s poljubnim zaporedjem, in produkt  . To je povezano z dualnostjo prostorov Lp.

ViriUredi