Popolna potenca je v matematiki sestavljeno pozitivno celo število , ki se ob praštevilskem razcepu lahko zapiše z eno samo celoštevilsko potenco .
n
{\displaystyle n\,}
naravni števili
m
>
1
{\displaystyle m>1\,}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,}
m
k
=
n
{\displaystyle m^{k}=n\,}
n
{\displaystyle n\,}
popolna k -ta potenca .
Potenca je oblike
m
k
{\displaystyle m^{k}\,}
k
{\displaystyle k\,}
k
>
1
{\displaystyle k>1\,}
k
=
2
{\displaystyle k=2\,}
popolni kvadrat , pri
k
=
3
{\displaystyle k=3\,}
popolni kub . Včasih število 1 tudi velja za popolno potenco (
1
k
=
1
{\displaystyle 1^{k}=1\,}
k
{\displaystyle k\,}
Prve popolne potence so (OEIS A072103
1
n
=
1
{\displaystyle 1^{n}=1}
2
2
=
4
{\displaystyle 2^{2}=4}
2
3
=
8
{\displaystyle 2^{3}=8}
3
2
=
9
{\displaystyle 3^{2}=9}
2
4
=
4
2
=
16
{\displaystyle 2^{4}=4^{2}=16}
5
2
=
25
{\displaystyle 5^{2}=25}
3
3
=
27
{\displaystyle 3^{3}=27}
2
5
=
32
{\displaystyle 2^{5}=32}
6
2
=
36
{\displaystyle 6^{2}=36}
7
2
=
49
{\displaystyle 7^{2}=49}
2
6
=
4
3
=
8
2
=
64
{\displaystyle 2^{6}=4^{3}=8^{2}=64}
3
4
=
9
2
=
81
{\displaystyle 3^{4}=9^{2}=81}
10
2
=
100
{\displaystyle 10^{2}=100}
... Prve popolne potence brez podvojitev so (OEIS A001597
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ... Prve popolne potence z različnimi faktorizacijami so (OEIS A117453
1, 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, ...
Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc (vključno z različnimi faktorizacijami) je enaka 1:
∑
m
=
2
∞
∑
k
=
2
∞
1
m
k
=
1
,
{\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1\!\,,}
kar se lahko dokaže kot sledi:
∑
m
=
2
∞
∑
k
=
2
∞
1
m
k
=
∑
m
=
2
∞
1
m
2
∑
k
=
0
∞
1
m
k
=
∑
m
=
2
∞
1
m
2
(
m
m
−
1
)
=
∑
m
=
2
∞
1
m
(
m
−
1
)
=
∑
m
=
2
∞
1
m
−
1
−
1
m
=
1
.
{\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}=1\,.}
Vsota obratnih vrednosti popolnih potenc p brez podvojitev je enaka (OEIS A072102
∑
p
1
p
=
∑
k
=
2
∞
μ
(
k
)
(
1
−
ζ
(
k
)
)
≈
0
,
874464368
…
{\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)\left(1-\zeta (k)\right)\approx 0,874464368\dots }
kjer sta μ(k ) Möbiusova funkcija in ζ(k ) Riemannova funkcija zeta .
Po Eulerju je Goldbach dokazal, ne sicer v duhu sodobne strogosti, v sedaj izgubljenem pismu njemu, da je vsota 1/(p −1) v množici popolnih potenc p , brez 1 in različnih faktorizacij, enaka 1:
∑
m
=
2
∞
∑
k
=
2
∞
1
m
k
−
1
≡
∑
p
1
p
−
1
=
1
3
+
1
7
+
1
8
+
1
15
+
1
24
+
1
26
+
1
31
+
⋯
=
1.
{\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}-1}}\equiv \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}
To dejstvo se včasih imenuje Goldbach-Eulerjev izrek .
