Čista matematika

Čista matematika raziskuje lastnosti in strukture abstraktnih teles, kot recimo grupa E8 v teoriji grup. To se lahko stori brez osredotočenja na temeljne aplikacije konceptov v fizikalnem svetu.

Čista matematika je znanost matematičnih konceptov, ki so neodvisni od česarkoli izven matematike. Koncepti lahko izvirajo iz realnega sveta, rezultati pa nam lahko pomagajo v praktičnem življenju. Čista matematika ne temelji na tem. Namesto tega nam služi takšna matematika le kot intelektualni izziv. Ob njej se tudi čudimo njeni lepoti in kompleksnosti.

Čista matematika je obstajala že v Antični Grčiji, toda koncept se je izoblikoval šele okoli leta 1900, po vpeljavi ne-intuitivnih stvari (kot recimo neevklidska geometrija in Cantorjeva teorija neskončnih množic) in odkritjem navideznih paradoksov (kot recimo zvezne funkcije, ki ni nikjer diferenciabilna in Russellov paradoks). Pri takšnih stvareh se je pojavila potreba po prenovitvi koncepta matematične strogosti in spremembi matematike s sistematsko uporabo aksiomatskih metod. To je vodilo mnogo matematikov, da so se skoncentrirali na matematiko do najglobljih korenin, torej na čisto matematiko.

Vseeno pa je še vedno večina matematičnih teorij izvirala iz problemov realnega življenja ali iz manj abstraktnih matematičnih teorij. Tudi veliko takšnih teorij, ki so se zdele popolnoma "čiste" v smislu matematike, so se nazadnje izkazale kot uporabne na veliko praktičnih področjih, kot recimo v fiziki in računalništvu. Zelo znan zgodnji primer je predstavitev splošnega gravitacijskega zakona Isaaca Newtona, ki je nakazovala na gibanje planetov v orbitah v obliki stožnic, ki jih je v antiki raziskoval Apolonij. Drug primer je recimo problem množenja velikih števil, ki je sedaj osnova RSA kriptografskih sistemov, ki se široko uporabljajo v varnih medmrežnih komunikacijah.[1]

Iz tega sledi, da je ločnica med čisto in uporabno matematiko le filozofski pogled matematika, ne pa točna meja. Nekateri matematiki, ki so se ukvarjali z uporabno matematiko, so se celo identificirali kot čisti matematiki.

ZgodovinaUredi

Antična GrčijaUredi

Antični grški matematiki so bili eni izmed najzgodnejših, ki so naredili ločnico med čisto in uporabno matematiko. Platon je pomagal narediti mejo med "aritmetiko" (sedaj imenovano teorijo števil) in "logiko" (sedaj imenovano aritmetiko). Logiko (aritmetiko) je povezoval s poslovneži in z vojskovodji, ki "se morajo naučiti umetnosti števil ali pa ne bodo vedeli, kako razvrstiti svoje čete", aritmetiko (teorijo števil) pa je priporočal filozofom, "ker morajo nastati iz morja sprememb, a se držati resnične biti."[2] Eden izmed Evklidovih učencev je Evklida vprašal, čemu služi geometrija. Slavni filozof je prosil njegovega sužnja, naj da nevednežu nekaj denarja, "ker mora imeti od znanja dobiček".[3] Tudi grškega matematika Apolonija so nekateri vprašali o uporabnosti nekaterih njegovih izrekov iz 4. zvezka o stožnicah, na kar je ponosno odgovoril:[4]

Že zaradi samih demonstracij so vredni sprejemanja, na enak način kot iz tega in nobenega drugega razloga sprejemamo številne druge stvari iz matematike.

In ker veliko njegovih rezultatov ni bilo uporabnih v znanosti ali inženirstvu, je Apolonij kasneje v svojem 5. zvezku stožnic rekel, da je ta tema (stožnice) "namenjena vsem, ki to želijo znati samo zaradi sebe."[5]

19. stoletjeUredi

Sam pojem je nastal iz celega nagovora Sadleiriana Chaira: Sadleirian, profesor čiste matematike, ki je nastal v sredini 19. stoletja. Ideja o ločenem področju čiste matematike je takrat tudi najverjetneje nastajala. V času Gaussa ločnice med čisto in uporabno matematiko niso poznali. V sledečih letih sta se specializacija in profesionalizacija (zlasti pri Weierstrassovem približku k matematični analizi) začela bolj razlikovati.

20. stoletjeUredi

Na začetku dvajsetega stoletja so se matematiki lotili aksiomatične metode, na katere pa je močno vplival zgled Davida Hilberta. Logično obliko čiste matematike je predlagal Bertrand Russell, ki se je v smislu kvantifikacijske strukture izrekov zdela vedno bolj verjetna, ker so veliki deli matematike podvrženi strogim aksiomom.

Čista matematika je (skladno z bourbakijevo skupino) tisto, kar se da dokazati. Čisti matematik je postal prepoznaven poklic, ki se ga da naučiti le s treningom.

Izkazalo se je, da je čista matematika uporabna tudi v inženirski izobrazbi:[6]

To je trening navad, različnih pogledov in intelektualnega mišljenja navadnih inženirskih problemov, ki jih lahko reši le višja matematika.

Posplošitev in abstrakcijaUredi

 
Ilustracija paradoksa Banach-Tarskega, znanega rezultata v čisti matematiki. Četudi je dokazano, da je možno preoblikovati eno kroglo v dve z uporabo samo rezov in vrtenja, najverjetneje takšna telesa ne obstajajo v resničnem svetu.

Eden osrednjih konceptov čiste matematike je ideja splošnosti; čista matematika pogosto kaže trend povečane splošnosti. Uporaba in prednosti splošnosti vključujejo naslednje:

  • Posplošitev izrekov ali matematičnih struktur lahko vodijo do globljega razumevanja izvornih izrekov ali struktur.
  • Posplošitev lahko poenostavi predstavitev materiala, kar vodi h krajšim dokazom ali argumentom, ki jim je lažje slediti.
  • Posplošitev se lahko uporabi tudi kot izogib podvojitvi truda, s tem da se dokaže le splošni rezultat namesto potrebe po neodvisnem dokazovanju ločenih primerov.
  • Olajša nam tudi povezave med različnimi vejami matematike. Teorija kategorij je ena izmed področij matematike, ki odkriva skupne stvari struktur in torej igra pomembno vlogo v nekaterih področjih matematike.

ČistostUredi

Matematiki so imeli vedno drugačna mnenja na ločnico med čisto in uporabno matematiko. Eden od najbolj znanih (a morda nerazumljivih) modernih razgovorov o tem so v G.H. Hardyjevi A Mathematician's Apology.

Glej tudiUredi

ViriUredi

  1. Robinson, Sara (June 2003). "Still Guarding Secrets after Years of Attacks, RSA Earns Accolades for its Founders" (PDF). SIAM News 36 (5). 
  2. Boyer, Carl B. (1991). "The age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. str. 86. ISBN 0-471-54397-7. Plato is important in the history of mathematics largely for his role as inspirer and director of others, and perhaps to him is due the sharp distinction in ancient Greece between arithmetic (in the sense of the theory of numbers) and logistic (the technique of computation). Plato regarded logistic as appropriate for the businessman and for the man of war, who "must learn the art of numbers or he will not know how to array his troops." The philosopher, on the other hand, must be an arithmetician "because he has to arise out of the sea of change and lay hold of true being." 
  3. Boyer, Carl B. (1991). "The age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. str. 86. ISBN 0-471-54397-7. Plato is important in the history of mathematics largely for his role as inspirer and director of others, and perhaps to him is due the sharp distinction in ancient Greece between arithmetic (in the sense of the theory of numbers) and logistic (the technique of computation). Plato regarded logistic as appropriate for the businessman and for the man of war, who "must learn the art of numbers or he will not know how to array his troops." The philosopher, on the other hand, must be an arithmetician "because he has to arise out of the sea of change and lay hold of true being." 
  4. Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. str. 152. ISBN 0-471-54397-7. It is in connection with the theorems in this book that Apollonius makes a statement implying that in his day, as in ours, there were narrow-minded opponents of pure mathematics who pejoratively inquired about the usefulness of such results. The author proudly asserted: "They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason." (Heath 1961, p.lxxiv).
    The preface to Book V, relating to maximum and minimum straight lines drawn to a conic, again argues that the subject is one of those that seem "worthy of study for their own sake." While one must admire the author for his lofty intellectual attitude, it may be pertinently pointed out that s day was beautiful theory, with no prospect of applicability to the science or engineering of his time, has since become fundamental in such fields as terrestrial dynamics and celestial mechanics.
     
  5. Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second izd.). John Wiley & Sons, Inc. str. 152. ISBN 0-471-54397-7. It is in connection with the theorems in this book that Apollonius makes a statement implying that in his day, as in ours, there were narrow-minded opponents of pure mathematics who pejoratively inquired about the usefulness of such results. The author proudly asserted: "They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason." (Heath 1961, p.lxxiv).
    The preface to Book V, relating to maximum and minimum straight lines drawn to a conic, again argues that the subject is one of those that seem "worthy of study for their own sake." While one must admire the author for his lofty intellectual attitude, it may be pertinently pointed out that s day was beautiful theory, with no prospect of applicability to the science or engineering of his time, has since become fundamental in such fields as terrestrial dynamics and celestial mechanics.
     
  6. A. S. Hathaway (1901) "Pure mathematics for engineering students", Bulletin of the American Mathematical Society 7(6):266–71.

Zunanje povezaveUredi