Vivianijeva krivulja

Vivianijeva krivulja (tudi Vivianijevo okno) je zaprta prostorska krivulja, ki se jo dobi v preseku sfere in valja tako, da je valj tangenta na sfero in da teče skozi središče sfere.

Vivianijeva krivulja kot presek sfere in valja (v zeleni barvi).

Imenuje se po italijanskem matematiku in fiziku Vincenzu Vivianiju (1622 – 1703).

Krivulja se dobi s presekom sfere, ki ima polmer 2a in je njena enačba dana z:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4a^{2}\!\,$

in valjem, ki ima središče v točki $(a,0,0)$ s polmerom $a$ in danim z enačbo:

$(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\!\,.$

Krivulja je dana s parametričnimi enačbami:

$x=a(1+\cos(t))\!\,,$

$y=a\sin(t)\!\,,$

$z=2a\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\!\,.$

Dolžina loka

Vivianijeva krivulja ima dolžino loka:

$8{\sqrt {2}}aE(1/2{\sqrt {2}})\!\,,$

kjer je:

• $E(k)\,$ popolni eliptični integral druge vrste.

Funkcija dolžine loka pa je:

$2a{\sqrt {2}}E(1/2t,1/2{\sqrt {2}})\!\,.$

Ukrivljenost

Funkcija ukrivljenosti je:

$\kappa ={\frac {\sqrt {13+3\cos t}}{a(3+\cos t)^{3/2}}}\!\,.$

Vzvoj (torzija)

Funkcija vzvoja je:

$\tau (t)={\frac {6\cos {\frac {1}{2t}}}{a(13+3\cos t)}}\!\,.$

Glej tudi

• presek sfere in valja

Zunanje povezave

• Vivianova krivulja v Encyclopedia of Science (angleško)
• Vivianijeva krivulja na WolframAlpha (angleško)
• Vivianijeva krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (tudi simulacije) (francosko)