Thomsonov problem

Thomsonov problem je izraz za vprašanje, kako razporediti N enako nabitih elektronov, ki so na površju sfere, da bi bil njihov elektrostatski potencial zaradi Coulombove sile minimalen. Fizik J. J. Thomson (1856 - 1940) je naletel na problem leta 1904 zaradi takrat razširjenega modela atoma, ki je predpostavljal, da so nabiti elektroni razporejeni po prostornini nenabitega atoma.

Podobni problemi vključujejo probleme iz geometrije, ko računamo minimalno energijo (ne samo elektrostatske) velikega števila delcev.

Matematično ozadje

Ko konfiguracijo N števila elektronov, ki so razporejeni po površju enotske sfere (polmer $r=1$), razporedimo tako, da je njihova elektrostatska potencialna energija $U(N)$ minimalna (čim bolj oddaljeni drug od drugega), rešimo problem. Elektrostatska energija, ki jo ima par elektronov enakih nabojev ($e_{i}=e_{j}=e$; $e$ je osnovni naboj elektrona), je podana s Coulombovim zakonom:

$U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.$

Coulombova konstanta je $k_{e}$ in $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ je razdalja med vsakim parom elektronov na sferi. Njuna položaja sta določena z vektrojema $\mathbf {r} _{i}$ in $\mathbf {r} _{j}$. Vse razen $r_{ij}$ so številske konstante, zato lahko brez izgube splošnosti zapišemo odvisnost potenciala kot:

$U_{ij}(N$) ∝ ${1 \over r_{ij}}.$

To je potencialna energija med dvema delcema. Na sferi jih je lahko več, zato skupno energijo med vsemi N elektroni izrazimo z vsoto po vseh parih interakcij:

$U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.$

Minimizacijo energije vseh možnih razporeditev različnega števila elektronov izračunamo numerično.

Primer

Rešitev Thomsonovega problema dveh elektronov dobimo, ko sta na nasprotnih straneh sfere, saj je takrat razdalja med njima največja: $r_{ij}=2r=2$, oziroma

$U(2)={1 \over 2}.$

Znane rešitve

4 elektroni oblikujejo tetraeder.

Analitičnih rešitev je malo:

• Za N = 1, je rešitev trivialna, ker je elektron lahko kjerkoli na površju sfere.
• Za N = 2, je optimalna rešitev, da sta elektrona na nasprotnih polih, saj sta le tako najbolj oddaljena drug od drugega.
• Za N = 3, elektroni na ekvatorju določajo oglišča enakostraničnega trikotnika.
• Za N = 4, ustvarijo tetraeder.
• Za N = 5, ustvarijo telo imenovano tristrana bipiramida.
• Za N = 6, elektroni oklepajo oktaeder.
• Za N = 12, ležijo na ogliščih ikozaedra.