Redhefferjeva matrika

Redhefferjeva matrika je kvadratna nesimetrična binarna matrika, ki ima za elemente $a_{ij}=1\,$, če $i\,$ deli $j\,$ ali, če je $j=1\,$, v ostalih primerih pa je $a_{ij}=0\,$.

Imenuje se po ameriškem matematiku Raymondu Moosu Redhefferju (1921––2005).

Determinanta

Determinanta Redhefferjeve matrike $R_{n}\,$ reda $n\,$ je enaka Mertensovi funkciji $M(n)\,$.

Zgled

$R_{12}=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\1&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\1&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$

Značilnosti

Redheffer je dokazal, da je število lastnih vrednosti Redhefferjeve matrike reda n enakih 1 za n > 1 enako:

$a(n)=n-\lfloor \operatorname {lb} n\rfloor -1\!\,,$

kjer je $\lfloor \circ \rfloor$ funkcija (spodnji) celi del, $\operatorname {lb} \circ \,$ (označen tudi $\operatorname {ld} \,$ ali $\lg \,$) pa dvojiški logaritem. Prve vrednosti enotskih lastnih vrednosti so (OEIS A083058):

1, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, ...

Za enotske lastne vrednosti velja:

$a(n)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1+(-1)^{C_{k}}}{2}},\quad (n>1)\!\,,$

kjer je $C_{k}\,$ k-to Catalanovo število.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric W. »Redheffer Matrix«. MathWorld.
• Značilnosti Redhefferjeve matrike (angleško)