Mercatorjeva vrsta

Mercatorjeva vŕsta ali Newton-Mercatorjeva vŕsta [njúton-merkátorjeva ~] je v matematiki Taylorjeva vrsta za naravni logaritem. Dana je z:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \!\,,$

za $-1<x\leq 1$. Za kompleksne vrednosti x enolično konvergira k glavni vrednosti kompleksnega logaritma za vse x v odprtem enotskem disku.

Zgodovina

Vrsto so neodvisno odkrili Nicholas Mercator, Isaac Newton in Grégoire de Saint-Vincent. Prvi jo je objavil Mercator v svoji razpravi Logarithmo-technica iz leta 1668.

Izpeljava

Taylorjevi polinomi za $\log _{e}$(1+x) so točni v območju -1 < x ≤ 1. Za x > 1 so Taylorjevi polinomi višje stopnje slabši približki

Vrsto se lahko izpelje s ponavljajočim odvajanjem naravnega logaritma. Odvod je:

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln x={\frac {1}{x}}\!\,.$

Lahko se začne tudi z geometrično vrsto ($t\neq -1$)

$1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}\!\,,$

ki da:

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\!\,.$

Sledi:

$\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}t}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right){\rm {d}}t\!\,$

in z integracijo po členih:

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}{\rm {d}}t\!\,.$

Če je $-1<x\leq 1$, je člen ostanka enak nič pri $n\to \infty$.

Posebni primeri

Pri $x=1$ je Mercatorjeva vrsta alternirajoča harmonična vrsta:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2=\eta (1)\!\,,$

kjer je $\eta (z)$ Dirichletova funkcija η.

Viri

• Ball, Walter William Rouse (1908). »Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens«. iz A Short Account of the History of Mathematics (4. izdaja). {{navedi splet}}: Ležeče ali krepko označevanje ni dovoljeno v: |publisher= (pomoč)
• Folke, Eriksson; Larsson, Eric; Wahde, Gösta (2002). Matematisk analys med tillämpningar. Göteborg: Kompendium, Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet. str. 10. 3. del.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Mercator Series«. MathWorld.