Mercatorjeva vrsta

Mercatorjeva vŕsta ali Newton-Mercatorjeva vŕsta [njúton-merkátorjeva ~] je v matematiki Taylorjeva vrsta za naravni logaritem. Dana je z:

za . Za kompleksne vrednosti x enolično konvergira k glavni vrednosti kompleksnega logaritma za vse x v odprtem enotskem disku.

ZgodovinaUredi

Vrsto so neodvisno odkrili Nicholas Mercator, Isaac Newton in Grégoire de Saint-Vincent. Prvi jo je objavil Mercator v svoji razpravi Logarithmo-technica iz leta 1668.

IzpeljavaUredi

 
Taylorjevi polinomi za  (1+x) so točni v območju -1 < x ≤ 1. Za x > 1 so Taylorjevi polinomi višje stopnje slabši približki

Vrsto se lahko izpelje s ponavljajočim odvajanjem naravnega logaritma. Odvod je:

 

Lahko se začne tudi z geometrično vrsto ( )

 

ki da:

 

Sledi:

 

in z integracijo po členih:

 

Če je  , je člen ostanka enak nič pri  .

Posebni primeriUredi

Pri   je Mercatorjeva vrsta alternirajoča harmonična vrsta:

 

kjer je   Dirichletova funkcija η.

ViriUredi