Hiperbólične fúnkcije so matematične funkcije , ki so po nekaterih lastnostih podobne trigonometričnim funkcijam . Pomembnejše hiperbolične funkcije so hiperbolični sinus, hiperbolični kosinus in hiperbolični tangens, redkeje pa se uporablja še hiperbolični kotangens, hiperbolični sekans in hiperbolični kosekans.
Inverzi hiperboličnih funkcij se imenujejo area funkcije .
uredi
y = sh x y = ch x y = th x Hiperbolični sinus (oznaka sh ali sinh ) je definiran kot:
sh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {sh} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
Hiperbolični kosinus (oznaka ch ali cosh ) je definiran kot:
ch
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {ch} \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
Hiperbolični tangens (oznaka th ali tanh ) je definiran kot:
th
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {th} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
Hiperbolični kotangens (oznaka cth ali coth ) je definiran kot:
cth
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
Hiperbolični sekans (oznaka sech ) je definiran kot:
sech
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
1
ch
x
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}}
Hiperbolični kosekans (oznaka csch ) je definiran kot:
csch
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
1
sh
x
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {sh} \,x}}}
V Evropi so bolj v navadi kratke oznake (sh, ch, th, cth), v ZDA pa so bolj v navadi dolge oznake (sinh, cosh, tanh, coth).
Ime hiperbolične funkcije izhaja iz dejstva, da lahko hiperbolo z enačbo
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
x
=
a
ch
t
,
y
=
b
sh
t
{\displaystyle x=a\,\operatorname {ch} \,t,~~~~~y=b\,\operatorname {sh} \,t}
Povezavo med hiperboličnimi in trigonometrijskimi funkcijami vidimo, če za argument vstavimo imaginarno število :
sh
i
x
=
i
sin
x
{\displaystyle \operatorname {sh} \,ix=i\sin x\!\,}
ch
i
x
=
cos
x
{\displaystyle \operatorname {ch} \,ix=\cos x\!\,}
th
i
x
=
i
tg
x
{\displaystyle \operatorname {th} \,ix=i\,\operatorname {tg} \,x\!\,}
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \operatorname {sin} \,x={\frac {e^{i}x-e^{-ix}}{2i}}}
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \operatorname {cos} \,x={\frac {e^{i}x+e^{-ix}}{2}}}
tg
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
i
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {e^{i}x-e^{-ix}}{i(e^{i}x+e^{-ix})}}}
Med hiperboličnimi funkcijami veljajo naslednje osnovne zveze, ki so do neke mere podobne osnovnim zvezam med trigonometrijskimi funkcijami:
ch
2
x
−
sh
2
x
=
1
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1\!\,}
th
x
=
sh
x
ch
x
{\displaystyle \operatorname {th} \,x={\frac {\operatorname {sh} \,x}{\operatorname {ch} \,x}}}
cth
x
=
ch
x
sh
x
{\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {\operatorname {ch} \,x}{\operatorname {sh} \,x}}}
th
x
⋅
cth
x
=
1
{\displaystyle \operatorname {th} \,x\cdot \operatorname {cth} \,x=1\!\,}
1
−
th
2
x
=
1
ch
2
x
{\displaystyle 1-\operatorname {th} ^{2}x={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}}
cth
2
x
−
1
=
1
sh
2
x
{\displaystyle \operatorname {cth} ^{2}x-1={\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}}
sh
(
−
x
)
=
−
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} \,x}
ch
(
−
x
)
=
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} \,x}
th
(
−
x
)
=
−
th
x
{\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} \,x}
Adicijski izreki in funkcije dvojnih kotov
uredi
Tudi adicijski izreki so do neke mere podobni tistim za običajne trigonometrijske funkcije:
sh
(
x
+
y
)
=
sh
x
ch
y
+
ch
x
sh
y
{\displaystyle \operatorname {sh} (x+y)=\operatorname {sh} \,x\,\operatorname {ch} \,y+\operatorname {ch} \,x\,\operatorname {sh} \,y}
ch
(
x
+
y
)
=
ch
x
ch
y
+
sh
x
sh
y
{\displaystyle \operatorname {ch} (x+y)=\operatorname {ch} \,x\,\operatorname {ch} \,y+\operatorname {sh} \,x\,\operatorname {sh} \,y}
th
(
x
+
y
)
=
th
x
+
th
y
1
+
th
x
th
y
{\displaystyle \operatorname {th} (x+y)={\frac {\operatorname {th} \,x+\operatorname {th} \,y}{1+\operatorname {th} \,x\,\operatorname {th} \,y}}}
Formule za funkcije dvojnih kotov so naslednje:
sh
2
x
=
2
ch
x
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} \,2x=2\,\operatorname {ch} \,x\,\operatorname {sh} \,x}
ch
2
x
=
ch
2
x
+
sh
2
x
{\displaystyle \operatorname {ch} \,2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x}
th
2
x
=
2
th
x
1
+
th
2
x
{\displaystyle \operatorname {th} \,2x={\frac {2\,\operatorname {th} \,x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}}
Odvodi in integrali
uredi
(
sh
x
)
′
=
ch
x
{\displaystyle (\operatorname {sh} \,x)^{\prime }=\operatorname {ch} \,x}
(
ch
x
)
′
=
sh
x
{\displaystyle (\operatorname {ch} \,x)^{\prime }=\operatorname {sh} \,x}
(
th
x
)
′
=
1
ch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {th} \,x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}}
∫
sh
x
d
x
=
ch
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C}
∫
ch
x
d
x
=
sh
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C}
∫
th
x
d
x
=
ln
ch
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln \operatorname {ch} \,x+C}
∫
1
ch
2
x
d
x
=
th
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} \,x+C}
∫
1
sh
2
x
d
x
=
−
cth
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\,\operatorname {cth} \,x+C}
