Funktor

Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.

Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.

Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.[1]

DefinicijaUredi

Naj bosta   in   kategoriji. Funktor   iz   v   je preslikava [2] ,zuje vsak morfizem   z morfizmom   tako, da veljata naslednji trditvi

    •   za vsak objekt  
    •  za vse morfizme   in  .

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Kovariantnost in kontravariantnostUredi

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je   funktor iz   v   kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem   z morfizmom   tako, da veljata naslednji trditvi

    •   za vsak objekt  
    •  za vse morfizme   in  .

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorji in multifunktorjiUredi

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na  .

ZglediUredi

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

  • Konstantni funktor: Funktor, ki preslika ( ) vsak objekt iz   v fiksni objekt   v  .
  • Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
  • Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
  • Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz   v funktorsko kategorijo  , ki vsakemu objektu v   priredi konstantni funktor temu objektu.

Opombe in skliciUredi

  1. Carnap, The Logical Syntax of Language, p.13-14, 1937, Routledge & Kegan Paul
  2. Jacobson (2009), stran 19, def. 1.2.

Zunanje povezaveUredi