Funktor
Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.
Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.
Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.[1]
DefinicijaUredi
Naj bosta in kategoriji. Funktor iz v je preslikava [2] ,zuje vsak morfizem z morfizmom tako, da veljata naslednji trditvi
- za vsak objekt
- za vse morfizme in .
To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.
Kovariantnost in kontravariantnostUredi
Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.
V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je funktor iz v kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem z morfizmom tako, da veljata naslednji trditvi
- za vsak objekt
- za vse morfizme in .
Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.
Bifunktorji in multifunktorjiUredi
Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.
Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na .
ZglediUredi
Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:
- Konstantni funktor: Funktor, ki preslika ( ) vsak objekt iz v fiksni objekt v .
- Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
- Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
- Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz v funktorsko kategorijo , ki vsakemu objektu v priredi konstantni funktor temu objektu.
Opombe in skliciUredi
Zunanje povezaveUredi
- Funktor na MaFiRa (slovensko)
- Funktor na PlanetMath (angleško)
- Funktor (angleško)