Funktor

Funktor je v teoriji kategorij posebna vrsta preslikav med kategorijami. Funktorje si lahko predstavljamo kot homomorfizme med kategorijami oziroma kot morfizme v kategoriji majhnih kategorij.

Funktorje so najprej obravnavali v algebrski topologiji, kjer so algebrski objekti povezani v topološke prostore.

Izraz funktor je izposojen od v Nemčiji rojenega filozofa Rudolfa Carnapa (1891 – 1970), ki pa je izraz uporabljal v lingvističnem okolju.

Definicija

Naj bosta $C\,$ in $D\,$ kategoriji. Funktor $F\,$ iz $C\,$ v $D\,$ je preslikava ,zuje vsak morfizem $f:X\to Y\epsilon C\,$ z morfizmom $F(f):F(X)\to f(Y)\epsilon D\,$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ za vsak objekt $F(X)\epsilon D\,$
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)\,$za vse morfizme $f:X\rightarrow Y\,\!$ in $g:Y\rightarrow Z.\,\!$.

To pa pomeni, da mora funktor ohranjati morfizem identičnosti in kompozitum morfizmov.

Kovariantnost in kontravariantnost

Običajne funktorje imenujemo kovariantni funktorji.

V matematiki je znanih več načinov izgrajevanja funktorjev za katere je značilno, da obrnejo morfizem ali pa obrnejo kompozitum. Te vrste funktorjev imenujemo kontravariantni funktorji. Če je $F\,$ funktor iz $C\,$ v $D\,$ kot preslikava za katero velja zuje vsak morfizem $f:X\to Y\epsilon C\,$ z morfizmom $F(f):F(X)\to f(Y)\epsilon D\,$ tako, da veljata naslednji trditvi

• • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ za vsak objekt $F(X)\epsilon D\,$
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)\,$za vse morfizme $f:X\rightarrow Y\,\!$ in $g:Y\rightarrow Z.\,\!$.

Kontravariantne funktorje imenujemo tudi kofunktorji.

Bifunktorji in multifunktorji

Bifunktorje imenujemo tudi binarne funktorje. To so funktorji dveh argumentov.

Multifunktorji so posplošitev pojma funktor na $n\,$.

Zgledi

Naštetih je nekaj zgledov funktorjev:

• Konstantni funktor: Funktor, ki preslika ($C\to D\,$) vsak objekt iz $C\,$ v fiksni objekt $X\,$ v $D\,$.
• Endofunktor je funktor, ki preslika kategorijo v sebe.
• Identični funktor preslika objekt v sebe in morfizem v sebe.
• Diagonalni funktor, ki je definiran kot funktor s preslikavo iz $D\,$ v funktorsko kategorijo $D^{C}\,$, ki vsakemu objektu v $D\,$ priredi konstantni funktor temu objektu.

Zunanje povezave

• Funktor na MaFiRa (slovensko)
• Funktor na PlanetMath (angleško)
• Funktor (angleško)