Dodgsonova kondenzacija

Dodgsonova kondenzacija je postopek, ki nam omogoča računanje determinant kvadratnih matrik.

Postopek se imenuje po angleškem pisatelju, matematiku, logiku in anglikanskem diakonu Charlesu Lutwidgu Dodgsonu (1832 – 1898). Znan je bolj kot pisatelj, njegovo najznamenitejše delo je Aličine dogodivščine v čudežni deželi, ki ga je izdal pod psevdonimom Lewis Carroll.

Postopek je sestavljen iz zaporedja kreiranja vedno manjših matrik. Prične se z matriko , nato se nadaljuje s kreiranjem matrike in matrike dokler ne pridemo do matrike z razsežnostjo , ki vsebuje samo en element, ki je enak determinanti začetne matrike.

Splošni postopekUredi

Način določanja vrednosti determinante lahko opišemo s štirimi koraki

1. korak Naj bo   matrika z razsežnostjo  . Najprej preuredimo matriko   tako, da ne bo imela ničel v svoji notranjosti. Notranjost predstavljajo vsi elementi matrike   za katere je  

2. korak Kreiramo matriko  , ki pa ima razsežnost  , ki jo sestavljajo determinante vsake od   podmatrik matrike  . To pomeni, da je vsak   enak  

3. korak Z uporabo matrike   ponovimo drugi korak in dobimo matriko  , ki naj bo matrika  . Sedaj delimo vsak člen v   z odgovarjajočim členom iz notranjosti matrike  . Torej dobimo elmente  

4. korak Naj bo   in   Če je potrebno ponavljamo tretji korak tako dolgo, da dobimo matriko  . Element, ki ga vsebuje je vrednost determinante prvotne matrike.

ZgledUredi

Hočemo izračunati vrednost determinante matrike  

 

Najprej izdelamo matriko, ki jo sestavljajo podmatrike z razsežnostjo  

 

Iz tega dobimo naslednjo matriko determinant

 

Temu sledi deljenje z notranjostjo začetne matrike. Notranjost začetne matrike je enaka   po deljenju pa dobimo  . Postopek ponovimo in dobimo matriko  .   Sedaj moramo deliti z elementom, ki predstavlja notranjost matrike  , to pa je -5 (problem nastane, kadar je element v notranjosti enak 0. V tem primeru preuredimo vrstice tako, da element ni več enak nič. Pri preurejanju vrstic se vrednost determinante ne spremeni.). V našem primeru dobimo  , kar pa je tudi prava vrednost determinante začetne matrike.

Zunanje povezaveUredi