Cullenovo število

Cullenovo število je v matematiki naravno število oblike:

Cullenova števila je prvi raziskoval irski matematik častiti James Cullen leta 1905. Prva Cullenova števila so (OEIS A002064):

1, 3, 9, 25, 65, 161, 385, 897, 2049, 4609, 10241, 22529, 49153, 106497, ...

Dokazano je, da so skoraj vsa Cullenova števila sestavljena. Cullenova števila, ki so tudi praštevila, so Cullenova praštevila. Prvi dve Cullenovi praštevili sta (OEIS A050920):

3, 393050634124102232869567034555427371542904833, ...

Edina znana Cullenova praštevila so tista, ko je n enak (OEIS A005849):

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899 in 1354828.

Vseeno pa domnevajo, da obstaja neskončno mnogo Cullenovih praštevil. Mark Rodenkirch je avgusta 2005 odkril največje znano Cullenovo praštevilo:

Cullenovo število Cn je deljivo s p = 2n − 1, če je p praštevilo oblike 8k - 3. Iz Fermatovega malega izreka izhaja naprej, da če je p liho praštevilo, potem p deli Cm(k) za vsak m(k) = (2k − k)   (p − 1) − k (za k > 0). Pokazali so tudi, da praštevilo p deli C(p + 1) / 2, ko je Jacobijev simbol (2 | p) enak −1, in da p deli C(3p − 1) / 2, ko je Jacobijev simbol (2 | p) enak +1.

Ni znano ali obstaja takšno praštevilo p, da je tudi Cp praštevilo.

Včasih je definirano posplošeno Cullenovo število, oblike n bn + 1, kjer je n + 2 > b. Če lahko v tej obliki zapišemo praštevilo, se imenuje posplošeno Cullenovo praštevilo. Podobno določena Woodallova števila se včasih imenujejo Cullenova števila drugega reda.

Cullenova števila so poseben primer Prothovih števil (za in ).

ViriUredi

  • James Cullen (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.
  • Grasselli, Jože (2008), Enciklopedija števil, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, 45, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 243138304, ISBN 978-961-212-209-6, ISSN 1408-1571
  • Richard Kenneth Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B20.
  • Wilfrid Keller, »New Cullen Primes«, Mathematics of Computation, 64 (1995) 1733-1741.

Zunanje povezaveUredi