Cliffordova algebra

Cliffordova algebra oziroma Cliffordove algebre so vrsta asociativnih algeber. Lahko jih obravnavamo kot posplošitev kompleksnih števil in kvaternionov. Cliffordova algebra ni samo ena, ampak jih je veliko, kar je odvisno od izbire števila razsežnosti prostora algebre. Za prostor algebre, ki ima razsežnost moramo imeti neodvisnih najpogosteje ortogonalnih enotskih baznih vektorjev. Realna števila, kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebre Cliffordove algebre.

Imenuje se po angleškem matematiku in filozofu Williamu Klingdonu Cliffordu (1845 – 1879), ki je prvi opisal te vrste algebre v letu 1876. Hotel je posplošiti kvaternione višjih razsežnosti.

Realna števila so podalgebra Cliffordove algebre, prav tako tudi vektorska algebra, kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebro Cliffordove algebre [1]. Cliffordova algebra je pomembna v teoriji kvadratnih form in ortogonalnih transformacij. Pomembna je tudi v fiziki.

Osnova Cliffordovi algebri je produkt dveh vektorjev, ki je sestavljen iz dveh delov: skalarnega in bivektorskega dela. Skalarni del je

ZnačilnostiUredi

Naj bo   vektorski prostor nad obsegom   in naj bo   kvadratna forma nad  . V večini primerov je obseg   enak   ali   ali končni obseg.

Cliffordova algebra Cℓ(V,Q) je unitarna asociativna algebra nad K skupaj z linearno preslikavo i : VCℓ(V,Q), ki zadošča i(v)2 za vse v ∈ V določenimi z univerzalno lastnostjo: za dano asociativno algebro A nad obsegom K in vsako linearno preslikavo j : VA velja

j(v)2 = Q(v)1A za vse vV,

kjer

Oznaka   pomeni Cliffordovo algebro nad realnimi števili, kjer p pomeni število elementov baze z   (število baznih vektorjev, ki imajo pozitivne kvadrate) ter q   (število baznih vektorjev, ki imajo negativne kvadrate), oznaka R pomeni, da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili. Cliffordovo algebro Cℓ(V,Q) lahko potem definiramo kot algebro kvocientov

Cℓ(V,Q) = T(V)/IQ.

Produkt kolobarjev, ki je značilnost tega kvocienta, se imenuje Cliffordov produkt in ga na ta način razlikujemo od skalarnega in vektorskega produkta.

Zgledi:

  •   pomeni običajna kompleksna števila
  •   pomeni hiperbolična števila
  •   pomeni kvaternione
  •   Cliffordove bikvaternione
  •   kokvaternione (to je naravna algebra 2-razsežnega prostora)
  •   naravna algebra 3-razsežnega prostora
  •   algebra prostor-časa

Cliffordova algebra, kot smo jo opisali, vedno obstoja. Lahko jo kreiramo na naslednji način: Najprej določimo splošno algebro, ki vsebuje V, to se pravi tenzorsko algebro, ki jo označimo s T(V). Potem še uveljavimo osnovno identiteto s prevzemom primernega kvocienta. V našem primeru uporabimo dvostranski ideal IQ.

Baza in razsežnostUredi

Kadar je razsežnost prostora V enaka n in je {e1, ....,en} baza prostora V, potem je množica

 

baza Cℓ(V,Q) prazen produkt (k = 0) je definiran kot multiplikateven nevtralni element. Za vsako vrednost k lahko izberemo n baznih elementov tako, da je razsežnost Cliffordove algebre enaka

 

kjer dim pomeni razsežnost (glej razsežnost). Ker pa V vsebuje tudi kvadratno formo, obstojaja posebna baza za V. Ta je ortogonalna. Za ortogonalno bazo pa velja, da je

 .

kjer je ⟨·,·⟩ simetrična bilinearna forma povezana s Q. Iz osnovne Cliffordove identitete sledi, da za ortogonalno bazo velja

 .

To pa, da je delo z vektorji ortogonalne baze precej enostavno.

Zgledi: realna in kompleksna Cliffordova algebraUredi

Najpomembnejše Cliffordove algebre so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori, ki vsebujejo tudi nedegenerirane kvadratne forme.

Iz tega sledi, da je vsaka algebra Cp,q(R) in Cn(C) izomorfna z A ali z AA, kjer je A kolobar matrik z elementi iz R ali C ali H. Oznaka ⊕ pomeni direktno vsoto.

Realna številaUredi

Glavni članek: Geometrijska algebra.

Vsaka nedegenerirana kvadratna forma nad končno razsežnim vektorskim prostorom je ekvivalentna z običajno diagonalno formo

 

kjer je   razsežnost vektorskega prostora. Par celih števil (p, q) se imenuje signatura kvadratne forme. Realni vektorski prostor s kvadratnimi formami pogosto označujemo z Rp,q. Cliffordovo algebro nad prostorom Rp,q označujemo s Cp,q(R) Oznaka Cn(R) lahko pomeni Cn,0(R) ali pa C0,n(R).

Standardno ortonormalno bazo {ei} za Rp, q sestavlja n = p + q medsebojno pravokotnih vektorjev. Med njimi je p takšnih, ki imajo normo enako +1, q pa je takšnih, ki imajo normo enako -1.

Cliffordova algebra z oznako C0, 0(R) je izomorfna z R. V njej ni neničelnih vektorjev. Algebra C0, 1(R) je dvorazsežna algebra, ki jo generira samo eden vektor e1, ki ima kvadrat enak -1 in je tako izomorfen s C. Naslednja je algebra C0, 3(R), ki je 8-razsežna algebra, izomorfna z direktno vsoto HH, kar imenujemo razcepljeni bikvaternioni.

Kompleksna številaUredi

Cliffordovo algebro lahko proučujemo tudi v kompleksnih vektorskih prostorih. Vsaka nedegenerirana kvadratna forma kompleksnih vektorskih prostorih je enakovredna standardni diagonalni formi

 

kjer je n = dim V. Tako je samo ena nedegenerirana Cliffordova algebra za vsako razsežnost n. Cliffordovo algebro nad Cn označujemo s Cn(C).

Nekaj osnovnih zgledov je:

C0(C) ≅ C, kompleksna števila
C1(C) ≅ CC imenujemo bikompleksna števila
C2(C) ≅ M2(C)

kjer

  • Mn(C) pomeni algebro n×n matrik nad C.
  • oznaka   pomeni skladnost
  • oznaka ⊕ pa pomeni direktno vsoto

Kontrukcija kvaternionovUredi

Kvaternione lahko konstruiramo kot parno podalgebro Cliffordove algebre C0,3(R).

Naj bo vektorski prostor V realni trirazsežni prostor R3. Kvadratno formo Q lahko dobimo iz običajne Evklidske metrike. Za v, w v R3 imamo kvadratno formo ali skalarni produkt kot

 .

Če vpeljemo Cliffordov produkt vektorjev vin w, dobimo

 .

Povezava s kvaternioni se z lahkoto pokaže.

Označimo množico ortogonalnih vektorjev v R3 kot e1 e2 in e3. Cliffordov produkt nam na ta način da

 

in

 .

Splošni element Cliffordove algebre C0,3(R) je dan z

 

Bazni vektorji so enakovredni kvaternionskim enotam i, j in k z naslednjimi zvezami

 

To pa tudi kaže, da je parna podalgebra C0,3(R) realna kvaternionska algebra. To se vidi iz

 

in

 

in tudi

 

Konstrukcija dualnih kvaternionovUredi

Dualne kvaternione konstruiramo kot parno Cliffordovo algebro v realnem štirirazsežnem prostoru z degenerirano kvadratno formo [2][3]. Naj bo vektorski prostor realni štiri razsežni prostor R4 in naj bo kvadratna forma Q degenerirana forma iz Evklidske metrike nad R3. Za v in w v R4 vpeljimo degenerirano bilinearno formo

 .

Ta degenerirani skalarni produkt projicira razdalje iz R4 na hiperravnino R3. Cliffordov produkt vektorjev v in w je dan z

 .

Negativni predznak je dodan samo zaradi skladnosti s kvaternioni.

Označimo skupino ortogonalnih enotskih vektorjev v R4 z 'R4 kot e1, e2, e3 in e4 potem Cliffordov produkt dobi zvezo

 

in

 .

Splošni element Cliffordove algebre Cℓ(R4, d) ima 16 komponent. Linearna kombinacija elementov s parnim rangom definirajo parno podalgebro s splošnim elementom

 .

Elemente baze lahko enačimo s kvaternionskimi enotskimi vektorji i, j in k ter dualno enoto ε z

 .

To omogoča povezavo med C00,3,1(R) z algebro dualnih kvaternionov.

Iz tega sledi, da je

 

in

 .

Cliffordova in geometrijska algebraUredi

Med najpomembnejšimi Cliffordovimi algebrami so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori na osnovi nedegeneriranih kvadratnih form. Geometrijska razlaga neizrojenih (nedegeneriranih) realnih Cliffordovih algeber se imenuje geometrijska algebra.

Opombe in skliciUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi