Cliffordova algebra

Cliffordova algebra oziroma Cliffordove algebre so vrsta asociativnih algeber. Lahko jih obravnavamo kot posplošitev kompleksnih števil in kvaternionov. Cliffordova algebra ni samo ena, ampak jih je veliko, kar je odvisno od izbire števila razsežnosti prostora algebre. Za prostor algebre, ki ima razsežnost $n\,$ moramo imeti $n\,$ neodvisnih najpogosteje ortogonalnih enotskih baznih vektorjev. Realna števila, kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebre Cliffordove algebre.

Imenuje se po angleškem matematiku in filozofu Williamu Klingdonu Cliffordu (1845 – 1879), ki je prvi opisal te vrste algebre v letu 1876. Hotel je posplošiti kvaternione višjih razsežnosti.

Realna števila so podalgebra Cliffordove algebre, prav tako tudi vektorska algebra, kompleksna števila in kvaternioni tvorijo podalgebro Cliffordove algebre . Cliffordova algebra je pomembna v teoriji kvadratnih form in ortogonalnih transformacij. Pomembna je tudi v fiziki.

Osnova Cliffordovi algebri je produkt dveh vektorjev, ki je sestavljen iz dveh delov: skalarnega in bivektorskega dela. Skalarni del je

Značilnosti

Naj bo $V\,$ vektorski prostor nad obsegom $K\,$ in naj bo $Q:V\to K\,$ kvadratna forma nad $V\,$. V večini primerov je obseg $K\,$ enak $R\,$ ali $C\,$ ali končni obseg.

Cliffordova algebra Cℓ(V,Q) je unitarna asociativna algebra nad K skupaj z linearno preslikavo i : V → Cℓ(V,Q), ki zadošča i(v)² za vse v ∈ V določenimi z univerzalno lastnostjo: za dano asociativno algebro A nad obsegom K in vsako linearno preslikavo j : V → A velja

j(v)² = Q(v)1_A za vse v ∈ V,

kjer

• 1_A pomeni multiplikativni nevtralni element za A

Oznaka $Cl_{p,q}(R)\,$ pomeni Cliffordovo algebro nad realnimi števili, kjer p pomeni število elementov baze z $e_{i}^{2}=+1\,$ (število baznih vektorjev, ki imajo pozitivne kvadrate) ter q $e_{i}^{2}=-1\,$ (število baznih vektorjev, ki imajo negativne kvadrate), oznaka R pomeni, da imamo Cliffordovo algebro nad realnimi števili. Cliffordovo algebro Cℓ(V,Q) lahko potem definiramo kot algebro kvocientov

Cℓ(V,Q) = T(V)/I_Q.

Produkt kolobarjev, ki je značilnost tega kvocienta, se imenuje Cliffordov produkt in ga na ta način razlikujemo od skalarnega in vektorskega produkta.

Zgledi:

• $Cl_{0,1}(R)\,$ pomeni običajna kompleksna števila
• $Cl_{1,0}(R)\,$ pomeni hiperbolična števila
• $Cl_{0,2}(R)\,$ pomeni kvaternione
• $Cl_{0,3}(R)\,$ Cliffordove bikvaternione
• $Cl_{1,1}(R)\approx Cl_{2,0}(R)\,$ kokvaternione (to je naravna algebra 2-razsežnega prostora)
• $Cl_{3,0}(R)\,$ naravna algebra 3-razsežnega prostora
• $Cl_{1,3}(R)\,$ algebra prostor-časa

Cliffordova algebra, kot smo jo opisali, vedno obstaja. Lahko jo kreiramo na naslednji način: Najprej določimo splošno algebro, ki vsebuje V, to se pravi tenzorsko algebro, ki jo označimo s T(V). Potem še uveljavimo osnovno identiteto s prevzemom primernega kvocienta. V našem primeru uporabimo dvostranski ideal I_Q.

Baza in razsežnost

Kadar je razsežnost prostora V enaka n in je {e₁, ....,e_n} baza prostora V, potem je množica

$\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\mbox{ in }}0\leq k\leq n\}$

baza Cℓ(V,Q) prazen produkt (k = 0) je definiran kot multiplikateven nevtralni element. Za vsako vrednost k lahko izberemo n baznih elementov tako, da je razsežnost Cliffordove algebre enaka

$\dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=2^{n}$

kjer dim pomeni razsežnost (glej razsežnost). Ker pa V vsebuje tudi kvadratno formo, obstajaja posebna baza za V. Ta je ortogonalna. Za ortogonalno bazo pa velja, da je

$\langle e_{i},e_{j}\rangle =0\qquad i\neq j\,$.

kjer je ⟨·,·⟩ simetrična bilinearna forma povezana s Q. Iz osnovne Cliffordove identitete sledi, da za ortogonalno bazo velja

$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\qquad i\neq j\,$.

To pa, da je delo z vektorji ortogonalne baze precej enostavno.

Zgledi: realna in kompleksna Cliffordova algebra

Najpomembnejše Cliffordove algebre so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori, ki vsebujejo tudi nedegenerirane kvadratne forme.

Iz tega sledi, da je vsaka algebra Cℓ_p,q(R) in Cℓ_n(C) izomorfna z A ali z A⊕A, kjer je A kolobar matrik z elementi iz R ali C ali H. Oznaka ⊕ pomeni direktno vsoto.

Realna števila

Vsaka nedegenerirana kvadratna forma nad končno razsežnim vektorskim prostorom je ekvivalentna z običajno diagonalno formo

$Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}\,$

kjer je $n=p+q$ razsežnost vektorskega prostora. Par celih števil (p, q) se imenuje signatura kvadratne forme. Realni vektorski prostor s kvadratnimi formami pogosto označujemo z R^p,q. Cliffordovo algebro nad prostorom R^p,q označujemo s Cℓ_p,q(R) Oznaka Cℓ_n(R) lahko pomeni Cℓ_n,0(R) ali pa Cℓ_0,n(R).

Standardno ortonormalno bazo {e_i} za R^{p, q} sestavlja n = p + q medsebojno pravokotnih vektorjev. Med njimi je p takšnih, ki imajo normo enako +1, q pa je takšnih, ki imajo normo enako -1.

Cliffordova algebra z oznako Cℓ_{0, 0}(R) je izomorfna z R. V njej ni neničelnih vektorjev. Algebra Cℓ_{0, 1}(R) je dvorazsežna algebra, ki jo generira samo eden vektor e₁, ki ima kvadrat enak -1 in je tako izomorfen s C. Naslednja je algebra Cℓ_{0, 3}(R), ki je 8-razsežna algebra, izomorfna z direktno vsoto H ⊕ H, kar imenujemo razcepljeni bikvaternioni.

Kompleksna števila

Cliffordovo algebro lahko proučujemo tudi v kompleksnih vektorskih prostorih. Vsaka nedegenerirana kvadratna forma kompleksnih vektorskih prostorih je enakovredna standardni diagonalni formi

$Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}$

kjer je n = dim V. Tako je samo ena nedegenerirana Cliffordova algebra za vsako razsežnost n. Cliffordovo algebro nad Cⁿ označujemo s Cℓ_n(C).

Nekaj osnovnih zgledov je:

Cℓ₀(C) ≅ C, kompleksna števila

Cℓ₁(C) ≅ C ⊕ C imenujemo bikompleksna števila

Cℓ₂(C) ≅ M₂(C)

kjer

• M_n(C) pomeni algebro n×n matrik nad C.
• oznaka $\cong \,$ pomeni skladnost
• oznaka ⊕ pa pomeni direktno vsoto

Kontrukcija kvaternionov

Kvaternione lahko konstruiramo kot parno podalgebro Cliffordove algebre Cℓ_0,3(R).

Naj bo vektorski prostor V realni trirazsežni prostor R³. Kvadratno formo Q lahko dobimo iz običajne Evklidske metrike. Za v, w v R³ imamo kvadratno formo ali skalarni produkt kot

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}$.

Če vpeljemo Cliffordov produkt vektorjev vin w, dobimo

$\mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\!$.

Povezava s kvaternioni se z lahkoto pokaže.

Označimo množico ortogonalnih vektorjev v R³ kot e₁ e₂ in e₃. Cliffordov produkt nam na ta način da

$\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2},\,\,\,\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3},\,\,\,\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1},\!$

in

$\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1\!$.

Splošni element Cliffordove algebre Cℓ_0,3(R) je dan z

$A=a_{0}+a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+a_{5}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+a_{6}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+a_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.\!$

Bazni vektorji so enakovredni kvaternionskim enotam i, j in k z naslednjimi zvezami

$i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2},$

To pa tudi kaže, da je parna podalgebra Cℓ_0,3(R) realna kvaternionska algebra. To se vidi iz

$i^{2}=(\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3})^{2}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1,\!$

in

$ij=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}=-\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=k.\!$

in tudi

$ijk=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}=-1.\!$

Konstrukcija dualnih kvaternionov

Dualne kvaternione konstruiramo kot parno Cliffordovo algebro v realnem štirirazsežnem prostoru z degenerirano kvadratno formo . Naj bo vektorski prostor realni štiri razsežni prostor R⁴ in naj bo kvadratna forma Q degenerirana forma iz Evklidske metrike nad R³. Za v in w v R⁴ vpeljimo degenerirano bilinearno formo

$d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}$.

Ta degenerirani skalarni produkt projicira razdalje iz R⁴ na hiperravnino R³. Cliffordov produkt vektorjev v in w je dan z

$\mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2\,d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\!$.

Negativni predznak je dodan samo zaradi skladnosti s kvaternioni.

Označimo skupino ortogonalnih enotskih vektorjev v R⁴ z 'R⁴ kot e₁, e₂, e₃ in e₄ potem Cliffordov produkt dobi zvezo

$\mathbf {e} _{m}\mathbf {e} _{n}=-\mathbf {e} _{n}\mathbf {e} _{m},\,\,\,m\neq n,\!$

in

$\mathbf {e} _{1}^{2}=\mathbf {e} _{2}^{2}=\mathbf {e} _{3}^{2}=-1,\,\,\mathbf {e} _{4}^{2}=0\!$.

Splošni element Cliffordove algebre Cℓ(R⁴, d) ima 16 komponent. Linearna kombinacija elementov s parnim rangom definirajo parno podalgebro s splošnim elementom

$H=h_{0}+h_{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}+h_{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}+h_{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}+h_{4}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}+h_{5}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}+h_{6}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{3}+h_{7}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.\!$.

Elemente baze lahko enačimo s kvaternionskimi enotskimi vektorji i, j in k ter dualno enoto ε z

$i=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3},j=\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1},k=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2},\,\,\varepsilon =\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}.\!$.

To omogoča povezavo med Cℓ⁰_0,3,1(R) z algebro dualnih kvaternionov.

Iz tega sledi, da je

$\varepsilon ^{2}=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}=-\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=0,\!$

in

$\varepsilon i=(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{4})=i\varepsilon \!$.

Cliffordova in geometrijska algebra

Med najpomembnejšimi Cliffordovimi algebrami so tiste nad realnimi in kompleksnimi vektorskimi prostori na osnovi nedegeneriranih kvadratnih form. Geometrijska razlaga neizrojenih (nedegeneriranih) realnih Cliffordovih algeber se imenuje geometrijska algebra.

Glej tudi

• algebra fizičnih prostorov
• razvrstitev Cliffordovih algeber
• gama matrika
• zunanja algebra
• geometrijska algebra
• grupa spin
• paravektor
• Cliffordova analiza
• spinska struktura
• kvaternion
• oktonion
• hiperkompleksno število

Zunanje povezave

• Cliffordova algebra in roboti (slovensko)
• Cliffordova algebra na MathWorld (angleško)
• Cliffordova algebra (angleško)
• Cliffordova algebra Arhivirano 2005-04-15 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Kaj je Cliffordova algebra Arhivirano 2011-06-06 na Wayback Machine. (angleško)
• Cliffordove algebre, Cliffordove grupe in posplošitev kvaternionov (angleško)
• Cliffordova in geometrijska algebra (angleško)
• Cliffordova algebra v nLab (angleško)