Cayley-Dicksonova konstrukcija
Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.
Algebre, ki se jih tvori na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.
Kompleksna števila kot urejeni pari uredi
Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par realnih števil in . Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot:
Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je realno število.
Konjugirano število uredi
Konjugirano število . Za konjugirana števila velja značilnost:
To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.
Normo kompleksnega števila se izračuna kot:
Obratna vrednost pa je:
Kvaternioni uredi
Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka.
Uporabi se urejeni par kompleksnih števil in . Množenje se definira kot :
Konjugirana vrednost para je določena kot:
Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je:
- To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila se imenujejo kvaternioni.
Oktonioni uredi
Postopek se lahko nadaljuje na podoben način. Urejeni par dveh kvaternionov in . Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione. Urejeni par kvaternionov in .
Velja:
Pri tem je treba upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.
Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.
Naslednje algebre uredi
Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion velja .
Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.
Zunanje povezave uredi
- Zgodovina hiperkompleksnih števil (angleško)
- Cayley-Dicksonova konstrukcija (angleško)
- Cayley-Dicksonova konstrukcija Arhivirano 2008-07-05 na Wayback Machine. na PlanethMath (angleško)