Cantorjev diagonalni dokaz: razlika med redakcijama

m
tn|tan -> tg
m (robot Dodajanje: es:Diagonalización de Cantor)
m (tn|tan -> tg)
== Realna števila ==
 
Cantorjev izvirni dokaz pokaže, da je [[interval]] [0,1] ni ''števno'' neskončen. Ta [[dokaz s protislovjem]] gre takole:
# Privzemimo (kot predpostavko, za katero bomo pozneje dokazali, da mora biti napačna), da bi interval [0,1] res bil števno neskončen.
# Potem lahko oštevilčimo vsa (realna) števila na tem intervalu v [[zaporedje]], ( ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ''r''<sub>3</sub>, …)
# Sklep: privzetek (1), da je interval [0,1] [[števna neskončnost|števno neskončen]], mora biti napačen.
 
Neposredna posledica tega rezultata je, da tudi množica vseh realnih števil '''R''' ni števna. Če bi bila '''R''' števna, bi lahko oštevilčili vsa realna števila in bi zaporedje, ki bi oštevilčilo [0,1], lahko dobili tako, da bi odstranili vsa realna števila zunaj tega intervala. Vendar smo pravkar pokazali, da taktako zaporedje, ki bi oštevilčilo [0,1], ne more obstajati.
 
Lahko bi tudi dokazali, da sta množici [0,1] in '''R''' enako [[moč množice|močni]] tako, da bi med njima konstruirali [[bijektivna preslikava|bijekcijo]]. Za zaprti interval [0,1] je to storiti rahlo nerodno, čeprav možno; za odprti interval (0,1) bi lahko uporabili
<math>f\colon (0,1)\rightarrow\mathbb{R}</math>
definirano kot <math>f(x) = \tan,\mathrm{tg}\,\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)</math>.
 
== Zakaj to ne deluje na celih številih ==
 
Ljudje včasih mislijo, da je moč zgornji dokaz prilagoditi na [[celo število|cela števila]] in s tem pokazati, da so tudi ona neštevna. To skušajo storiti tako, da iz zgornjih izrazov črtajo decimalne vejice. TežaveTežava pri tem je, da neskončno zaporedje neničelnih števil ne določa celega števila. To je razlog za 7. zgordnji korak. Množica celih števil je seveda števna, zato tak dokaz ni mogoč.
 
== Splošne množice ==
Bodite pozorni na podobnost pri konstrukciji ''T'' in množice v [[Russelov paradoks|Russelovem paradoksu]]. Cantorjev rezultat pomeni, da je pojem »[[množica vseh množic|množice vseh množic]]« v običajni [[teorija množic|teoriji množic]] nekonsistenten; če bi bila '''''S''''' res množica vseh množic, bi bila njena potenčna množica '''P'''('''''S''''') hkrati večja od '''''S''''' in podmnožica množice '''''S'''''.
 
Zgornjega dokaza ni moč izvesti v [[Willard Van Orman Quine|Quineovi]] teoriji množici na "»novih temeljih"«, ki uporablja drugačno različico [[aksiom ločljivosti|aksioma ločljivosti]], v katerem ni moč izraziti <math>\{\,s\in S: s\not\in f(s)\,\}</math>.
 
Analogije diagonalnega dokaza se uporabljajo v matematiki za dokaz obstoja ali neobstoja določenih objektov. Denimo, standardni dokaz nerešljivosti [[problem ustavitve|problema ustavitve]] je v bistvu diagonalni dokaz.