Legendrova funkcija hi: Razlika med redakcijama

m
m+/dp
m (m+/dp)
'''Legendrova funkcija hi''' (običajna označba <math>\chi_{\nu} (z)\, </math>) je v [[matematika|matematiki]] [[specialna funkcija]] katere [[Taylorjeva vrsta]] je tudi [[Dirichletova vrsta]]. Imenuje se po francoskem matematiku [[Adrien-Marie Legendre|Adrienu-Marieu Legendru]]. Definirana je kot [[neskončna vrsta]]:
 
: <math> \chi_{\nu} (z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu}}, \qquad ( |z| \le 1, \Re( \nu) > 1, \nu \in \{ 0, \Z^{+} \} ) \!\, . </math>
 
Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo [[polilogaritem|polilogaritma]] in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:
 
: <math> \begin{align}
: <math> \chi_{\nu} (z) &= \frac{1}{2} \left [\operatorname{Li}_{\nu} (z) - \operatorname{Li}_{\nu} (-z) \right] \!\, . </math>
&= \operatorname{Li}_{\nu} (z) - 2^{- \nu} \operatorname{Li}_{\nu} \left( z^{2} \right) \!\, . \end{align} </math>
 
Legendrova funkcija <math>\chi_{\nu} (z)\, </math> se pojavlja v [[diskretna Fourierjeva transformacija|diskretni Fourierjevi transformaciji]] glede na red ν [[Hurwitzeva funkcija zeta|Hurwitzeve funkcije ζ(''s'', ''q'')]]<ref>{{sktxt|Cvijović|Klinowski|1999}}.</ref> in tudi kot [[Eulerjev polinom|Eulerjevi polinomi]] z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.
 
Legendrova funkcija <math>\chi_{\nu} (z)\, </math> je posebni primer [[Lercheva funkcija zeta|Lerchevega transcendenta]] <math>\Phi(z, s, \alpha)\, </math> in je na ta način podana kot:
: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, tg} (p \sin \theta) \operatorname{arc\, tg} (q \sin \theta) \mathrm{d} \theta = \pi \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{1+p^{2}}- 1}{p}\cdot\frac{\sqrt{1+q^{2}}- 1}{q} \right) \!\, , </math>
: <math> \int_{0}^{\alpha}\int_{0}^{\beta} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{d} y}{1-x^{2} y^{2}} = \chi_{2}(\alpha\beta), \qquad ( |\alpha\beta|\le 1 ) \!\, . </math>
 
== Sklici ==
 
{{sklici|1}}
 
== Viri ==
 
* {{citat|last1= Cvijović|first1= Djurdje|last2= Klinowski|first2= Jacek|url= http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1|title= Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments|journal= [[Mathematics of Computation]]|date= 1999|volume= 68|issue= 228|pages= 1623-1630|doi= 10.1090/S0025-5718-99-01091-1|MR= 1648375|ref= harv}}
* {{navedi revijo|last1= Cvijović|first1= Djurdje|title= Integral representations of the Legendre chi function|journal= [[J. Math. Anal. Appl.]]|date= 2007|volume=332|issue= |pages= 1056-1062|arxiv= 0911.4731|doi= 10.1016/j.jmaa.2006.10.083|ref= harv}}