Legendrova funkcija hi

Legendrova funkcija hi (običajna označba ) je v matematiki specialna funkcija katere Taylorjeva vrsta je tudi Dirichletova vrsta. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru. Definirana je kot neskončna vrsta:

Kot taka je podobna Dirichletovi vrsti za funkcijo polilogaritma in se jo res da trivialno izraziti v členih polilogaritma kot:

Legendrova funkcija se pojavlja v diskretni Fourierjevi transformaciji glede na red ν Hurwitzeve funkcije ζ(s, q)[1] in tudi kot Eulerjevi polinomi z eksplicitnimi zvezami podanimi v posameznih člankih.

Legendrova funkcija je posebni primer Lerchevega transcendenta in je na ta način podana kot:

ZnačilnostiUredi

Posebne vrednosti Legendrove funkcije χνUredi

  kjer je   Dirichletova funkcija λ.
  kjer je   imaginarna enota,   Dirichletova funkcija β,   pa Catalanova konstanta.
 
 
 
 
  kjer je   število zlatega reza.
 
  (OEIS A111003).
 
  kjer je   Riemannova funkcija ζ, (OEIS A233091).
 
 

In v splošnem:

  kjer je   Dirichletova funkcija η.
 

Za liha pozitivna cela števila velja zveza :

 

EnakostiUredi

 
 

Integralski izraziUredi

 
 
 
 

SkliciUredi

ViriUredi

  • Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1999), "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation, 68 (228): 1623–1630, doi:10.1090/S0025-5718-99-01091-1, MR 1648375
  • Cvijović, Djurdje (2007). "Integral representations of the Legendre chi function". J. Math. Anal. Appl. Vol. 332. str. 1056–1062. arXiv:0911.4731. doi:10.1016/j.jmaa.2006.10.083.

Zunanje povezaveUredi