Pierre de Fermat: Razlika med redakcijama

fermat je celo svoje življenje preživel v Toulousu. Sprva je bil [[advokat]], pozneje pa kraljevi svetovalec v [[parlament]]u v Toulousu. Ta visoki in ne preveč naporni [[uradnik|uradniški]] položaj mu je omogočil, da se je lahko ukvarjal z [[matematika|matematiko]]. Govoril je mnogo [[Jezik (sredstvo sporazumevanja)|jezik]]ov, bil je strokovnjak za objave [[Grki|grških]] klasikov. Blestel je predvsem v [[teorija števil|teoriji števil]]. Odkril je, da je vsako [[naravno število]] vsota štirih [[kvadratKvadratno število|kvadratov]]ov [[celo število|celih števil]]. Leta 1629 je napisal delo ''Uvod v študij ravninskih in prostorskih krivulj''. V njemu je enako kot [[René Descartes|Descartes]] obdelal [[analitična geometrija|analitično geometrijo]] v [[ravnina|ravnini]], ker pa ni mnogo objavljal se je uveljavila Descartesova misel. Leta 1636 je Fermat našel 6. par [[prijateljsko število|prijateljskih števil]], 17296, 18416, tedaj znan šele kot drugi. (glej [[Leonhard Euler]]). Po njem se imenuje [[Fermatova spirala|Fermatova]] ali parabolična [[spirala]], ki jo je raziskoval tega leta.

ni netrivialno rešljiva za <math>n \ge 3</math> v celih številih. Za dokaz celega izreka pa ob robu knjige ni prostora. Ta domneva je končno že dokazana splošno. Boljši opazovalci so opazili, da Fermat pozneje ni nikdar več zapisal tega izreka v vsej splošnosti, ampak le za eksponenta ''n'' = 3 in ''n'' = 4. Torej je po vsej verjetnosti sam našel luknjo v svojem dokazu in lahko upravičeno domnevamo, da je imel sicer Fermat neoporečen dokaz, in sicer z metodo neskončnega spusta, vendar le za ''n'' = 4. Okoli 100 let pozneje je Euler ugotovil pravilnost domneve pri ''n'' = 3. Eksponent ''n'' = 5 sta ugnala skoraj istočasno [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] leta 1828 in [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] leta 1830. Njuno dokazovanje je bilo precej zapleteno. Leta 1912 je [[Josip Plemelj|Plemelj]] objavil zelo preprost dokaz za pete potence, in sicer kot lep zgled za uporabo [[obseg]]a, ki ga dobimo, če [[racionalno število|racionalnim številom]] dodamo <math>\sqrt{5}</math>. [[Gabriel Lamé|Lamé]] je leta 1839 skušal dokazati primer ''n'' = 7, pa je napravil napako, ki jo je odpravil [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]]. Zares velik korak naprej je napravil [[Ernst Eduard Kummer|Kummer]] leta 1847 s [[teorija idealov|teorijo idealov]] (idealnih števil), s katero mu je uspelo dokazati pravilnost Fermatovega izreka za vsa [[regularno praštevilo|regularna praštevila]]. Svojih rezultatov Fermat ni objavljal, pač pa jih je, brez dokazov, navajal v pismih prijateljem. Vrsto rezultatov je napisal kar ob robu svojega izvoda tega Diofantovega prevoda. Te pripombe je rešil pozabe in pozneje leta 1670 izdal njegov sin. V obrobni opazki pri Diofantu II 8 ''Razdelitev kvadrata naravnega števila na vsoto dveh drugih kvadratov'' je Fermat napisal: »Nemogoče je razdeliti [[kub]] na vsoto dveh drugih kubov, četrto potenco ali sploh katerokoli [[potenca|potenco]], ki je višja od druge, v vsoto dveh potenc z istim [[eksponent]]om. Za to sem brez dvoma našel čudoviti dokaz, toda rob je zanj preozek.» Če je Fermat imel tak čudovit dokaz, potem se 300. letnemu intenzivnemu proučevanju ni posrečilo ta dokaz spet dobiti. Varneje je domnevati, da se je celo veliki Fermat spet zmotil. Upravičeno lahko sklepamo, da je imel dokaze za večino svojih rezultatov. Ker jih ni objavil, so se pozneje najboljši matematiki morali večkrat pošteno potruditi, da so jih dokazali. To ne zmanjšuje Fermatovih zaslug, saj njegovi izreki še danes zavzemajo pomembno mesto v teoriji števil. V drugi obrobni opazki je Fermat trdil, da lahko [[praštevilo]] oblike <math>4n + 1</math> izrazimo natanko na en način kot vsoto dveh kvadratov. Ta izrek je pozneje leta 1749 po 7. letih trdega dela dokazal Euler. Pri tem izreku je Fermat opisal metodo neskončnega spusta. Opisal jo je v pismu [[Pierre de Carcavi|Carcavi]]ju oktobra leta 1659. Zelo znan je [[Fermatov mali izrek|mali Fermatov izrek]], ki pravi: če je ''p'' praštevilo, je <math>a^p - a</math> deljivo s ''p'' za vsako naravno število ''a'', manjše od ''p''. V pismu leta 1640 se je pojavil v obliki, da je <math>a^{p-1}-1</math> deljivo s ''p'', kadar je ''p'' seveda praštevilo in je ''a'' [[tuje število|tuje]] proti ''p''. Fermat je prišel na osnovno zamisel tega izreka okoli leta 1636. Ta izrek se da dokazati na elementaren način, na primer z [[matematična indukcija|matematično indukcijo]] z uporabo [[binomski izrek|binomskega izreka]]. Z njegovim izrekom lahko preskušamo, ali je število ''n'' praštevilo. Izračunamo <math>2^{n-1}-1</math>. Pogledamo, ali ''n'' deli to število. Če ga ne deli, ''n'' ne more biti praštevilo. Če ''n'' deli <math>2^{n-1}-1</math>, je bodisi praštevilo bodisi [[psevdopraštevilo]]. Najmanjše psevdopraštevilo je 341 = 11. 31. Pri tem zanj vseeno velja <math>2^{341-1}-1\; \hbox{mod}\; 341 = 0</math>. Fermatov izrek tako da za ''n'' praštevilo z veliko verjetnostjo. Psevdopraštevil je sicer neskončno, so pa precej redkeje posejana kot praštevila. Od 1000 so manjša le 3, do milijona pa jih je le 245.

Število ''p'', ki je psevdopraštevilo za vse vrednosti ''a'', ki so mu relativno praštevila, je [[Carmichaelovo število]]. Svoj izrek je Fermat seveda pojasnil brez dokaza. Prvi je podal dokaz [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] v rokopisu brez datuma, kjer je sam zapisal, da je poznal dokaz že pred letom [683. Mali Fermatov izrek je posplošil Euler: za vsak modul ''n'' in poljuben cel ''a'', ki je tuj ''n'' (''n'' in ''a'' nimata skupnega faktorja), velja <math>a^{\phi(n)} = 1\;\hbox{mod}\; n</math>, kjer je <math>\phi(n)</math> Eulerjeva [[aritmetična funkcija]]. (glej [[Eulerjev izrek]])