E (matematična konstanta): Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m Bot: Migracija 60 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q82435 |
m m/slog/-p:l |
||
Vrstica 21:
[[Slika:Exp derivative at 0.svg|thumb|right|290px|''e'' je takšno število ''a'', da je vrednost [[odvod]]a [[eksponentna funkcija|eksponenetne funkcije]] ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' ([[modra|modro]]) v [[točka|točki]] ''x'' = 0 natanko enaka 1. Za primerjavo sta prikazani funkciji 2<sup>''x''</sup> (pikčasto) in 4<sup>''x''</sup> (prekinjeno), ki nista [[tangenta|tangentni]] [[premica|premici]] z naklonom 1 ([[rdeča|rdeče]]).]]
[[Matematična konstanta]] '''''e''''' (včasih imenovana '''Eulerjevo število''' po
: <math> e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 \dots \!\, . </math>▼
▲[[Matematična konstanta]] '''''e''''' (včasih imenovana '''Eulerjevo število''' po [[matematik]]u [[Leonhard Euler|Eulerju]], ali tudi '''Napierova konstanta''' v čast matematiku [[John Napier|Napieru]], ki je odkril [[logaritem|logaritme]]), je osnova [[naravni logaritem|naravnih logaritmov]]. Njena približna vrednost je
Predstavlja maksimalni prirastek v eni časovni enoti, ko imamo opravka s 100 % kontinuirano rastjo.▼
▲: <math>e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 \dots \!\, . </math>
▲Predstavlja maksimalni prirastek v eni časovni enoti, ko imamo opravka s 100% kontinuirano rastjo.
Poleg števila [[pi|π]] in [[imaginarna enota|imaginarne enote ''i'']], je ''e'' ena najpomembnejših [[matematična konstanta|matematičnih konstant]]. Definirana je na različne načine, glej spodaj.
Vrstica 36 ⟶ 33:
== Definicije ==
:1. Z [[limita|limito]]
:: <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
:2. Kot [[neskončna vsota|neskončna]] [[vsota]]
:: <math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
+ {1 \over 4!} + \cdots</math>
:3. ''e'' je število ''x'' > 0, določeno z [[integral]]om
:: <math>\int_{1}^{x} \frac{dt}{t} = 1</math>
==
Število ''e'' je [[iracionalno število]] in celo [[transcendentno število]]. Iracionalnost števila ''e'' je dokazal leta
Domnevajo, da je število ''e'' [[normalno število]].
Vrstica 62 ⟶ 59:
== Intuitivno razumevanje ==
Zakaj je ''e'' ravno 2,71...
Če želimo razumeti konstanto ''e'', moramo najprej razumeti [[eksponentna funkcija|eksponentno rast]]. Preprost
[[Slika:Rast bakterij.PNG]]
Drugače pa je npr. pri denarju. Če imamo na začetku 1 evro, nam ni treba čakati, da z obrestmi zaslužimo nov evro, ampak lahko že posamezen cent začne služiti svoje obresti. Predpostavimo, da je letna obrestna mera 100 %. Če vložimo
V drugem polletju je zasluženih 50 centov obresti začelo služiti še svoje dodatne obresti; še dodatnih 25 centov. Končni letni izkupiček je v tem primeru – 2,25 evra (Slika 1). Kaj pa če leto razdelimo na več intervalov in obresti izplačamo 3 krat letno? Rast bo opisala enačba:▼
▲<math>rast = \left(1+\frac{100%}{2}\right)^2</math><br />
▲V drugem polletju je zasluženih 50 centov obresti začelo služiti še svoje dodatne obresti; še dodatnih 25 centov. Končni letni izkupiček je v tem primeru – 2,25 evra (Slika 1).
▲<math>rast = \left(1+\frac{100%}{3}\right)^3</math><br />V posamezni tretjini leta bodo izplačane obresti v višini 33,3%. Situacija je podobna kot prej – zaslužene obresti bodo začele služiti svoje obresti, končni letni izkupiček pa bo 2, 37 evra (Slika 2).
[[Slika:N=2, n=3.PNG]]
Kaj pa če leto razdelimo na še manjše intervale? Se bodo naši letni izkupički povečevali v neskončnost?
Če v formulo vstavimo vedno večje ''n''-je, ki označujejo število intervalov, dobimo
▲<br /> <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math><br />
: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \!\, . </math>
''e'' je vrednost limite, če se ''n'' približuje neskončnosti. To, da se ''n'' približuje neskončnosti, pomeni, da smo neko časovno obdobje (v našem
▲e je vrednost limite, če se n približuje neskončnosti. To, da se n približuje neskončnosti, pomeni, da smo neko časovno obdobje (v našem primeru leto) razdelili na neskončno veliko število intervalov in tako dosegli t.i. KONTINUIRANO RAST, rast, ki se dogaja neprestano, v vsakem trenutku.
== Zgodovina ==
Odkritje števila ''e'', najverjetneje rezultat eksperimentalnega opazovanja, je splašilo matematike zgodnjega 17. stoletja , ki jim je bila [[limita]] še neznan koncept. Kljub temu najdemo začetke števila ''e'' in [[eksponentna funkcija|eksponentne funkcije]] ''e''<sup>''x''</sup> v vsakdanjih težavah, npr. Kako količina denarja narašča s časom. Zaračunavanje dodatnega plačila za izposojen denar sega globoko v zgodovino. Veliko zgodnje matematične literature se ukvarja z vprašanjem povezanim z obrestmi. Tak primer je glinena plošča iz Mezopotamije, za katero predvidevajo, da je nastala v 18. stoletju pr. n. št. Če namesto o denarju govorimo o žitu ali živini, lahko koncept obrestnih obresti vpeljemo v kakršnokoli dejavnost npr. kmetovanje, živinorejo ali trgovino. Ljudstva so se torej ukvarjala z različnimi opcijami rasti veliko prej kakor s pisanjem. Na nek način so že Babilonci uporabljali logaritemske tabele. Na ohranjenih glinenih tablicah najdemo prve zapise sledečih si popolnih kvadratov (1/36, 1/16, ...), ki so jih najverjetneje uporabljali za operiranje z obrestnimi obrestmi. Enačba za obrestne obresti je dokaj zapletena in dolga. Kljub temu obstaja enostavnejša pot do števila, kar potrjuje starodavna metoda [[enotski ulomek|enotskih ulomkov]] (1/''x''). Stari Egipčani so uporabljali to metodo pri vseh vrstah deljenja. To potrjuje tudi eno od najstarejših sumerskih besedil iz časov 2000 pr. n. št., kjer so razvidne tabele množitve in inverzije (1/''x''). Takšni enotski ulomki lahko sestavljajo število ''e'' z naslednjo formulo:
=== Zgodovina e-ja v 17. stoletju ===▼
Lastnosti števila e so kmalu navdušile matematike 17. stoletja. ▼
: <math> e= 2+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots \!\, , </math>
[[John Napier]] je pri primerjavi [[aritmetično zaporedje|aritmetičnega]] in [[geometrično zaporedje|geometričnega zaporedja]] prišel na misel , da bi izdelal tabelo naravnega logaritma različnih števil, saj bi si s tem poenostavil računanje. Tako je leta 1614 objavil knjigo ''Opis čudovitega kanona logaritmov'', s katero je oznanil odkritje logaritmov. V knjigi se je našla tabela logaritmov, za katero je porabil 20 let svojega življenja. Osnova logaritmov je bila Napierova konstanta ki jo danes poznamo pod imenom število e. ▼
kjer ! pomeni fakulteta števila.
Ljudje so kmalu spoznali, da ima objavljena tabela logaritemske funkcije neko univerzalno številsko osnovo. In to število je bilo število e. Večkrat, ko so uporabili to magično vrednost pri računanju, večkrat so se s to vrednostjo naključno srečevali. Vendar vrednost e za čas Napiera ni prišlo v matematično literaturo. ▼
[[Jakob Bernoulli I.|Jacob Bernoulli]] je bil matematik, ki je bistven za odkritje števila e. V 17. stoletju se je ubadal predvsem s matematičnim problemom obrestnih obresti. S proučevanjem obrestnih obresti je ugotovil, da limita leži med številoma 2 in 3. To lahko štejemo za prvi približek in definicijo števila e. S tem je bil prvi, ki je definiral neko število z limito.▼
Za samo označbo števila e je odgovoren [[Leonhard Euler]]. Velja za enega najpomembnejših matematikov 18. stoletja. Njegova odkritja sežejo na različna področja matematike, npr. teorija števil in teorija grafov. Uvedel je veliko sodobnih matematičnih pojmov in oznak; v matematični analizi, npr. pojem funkcije. Euler je raziskoval lastnosti e-ja in pravzaprav dal e-ju trenutno označbo. Euler je dokazal, da je e limita (1+1/n)<sup>n</sup>, pko gre n proti neskončnosti. Prav tako je določil 23 decimalnih mest števila e. Avtor Maor je mnenja, da je oznaka e pravzaprav okrajšava za besedo eksponentno. Hkrati pa so bile črke od a do d že uporabljene kot matematični simboli, tako je prišlo do označbe z naslednjo prosto črko, e.▼
▲[[John Napier]] je pri primerjavi [[aritmetično zaporedje|aritmetičnega]] in [[geometrično zaporedje|geometričnega zaporedja]] prišel na misel
▲Ljudje so kmalu spoznali, da ima objavljena tabela logaritemske funkcije neko univerzalno številsko osnovo. In to število je bilo število ''e''. Večkrat, ko so uporabili to magično vrednost pri računanju, večkrat so se s to vrednostjo naključno srečevali. Vendar vrednost ''e'' za čas Napiera ni prišlo v matematično literaturo.
▲[[Jakob Bernoulli I.|Jacob Bernoulli]] je bil matematik, ki je bil bistven za odkritje števila ''e''. V 17. stoletju se je ubadal predvsem
▲Za samo označbo števila ''e'' je
== Zanimivosti ==
* [[Google|Google, Inc.]] je za leto
* Oznake različic programa [[Metafont]] za generiranje pisav za stavni sistem [[TeX]] konvergirajo proti ''e'' in so trenutno (
* Tukaj je način kako si lahko namesto približka 2,7 enostavno zapomnite 18 mest števila ''e''. Zapišimo število takole: 2.7 1828 1828 45 90 45 23. In sedaj [[mnemotehnika]]: 2,7 ste gotovo že poznali; dvakrat se pojavi
== Glej tudi ==
Vrstica 121 ⟶ 116:
== Zunanje povezave ==
* [http://sources.wikipedia.org/wiki/E_to_10,000_places Wikisource - ''e'' na 10.000 mest]
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Število ''e'' (zgodovina)]
|