Mertensova funkcija: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m r2.7.1) (robot Dodajanje: ru:Функция Мертенса |
m m+/-p::letnice/siz |
||
Vrstica 1:
[[Slika:Mertens function.svg|thumb|right|250px|Graf Mertensove funkcije <math>M(n)\, ; n=1\cdots10000</math>]]
'''Mertensova fúnkcija''' [mértensova ~] je v [[teorija števil|teoriji števil]] [[aritmetična funkcija]] določena z [[vsota|vsoto]]:
Vrstica 25 ⟶ 27:
: <math> |M(n)| > n \!\, . </math>
Mertensova funkcija je v tesni zvezi z ničlami [[Riemannova funkcija zeta|Euler-Riemannove funkcije ζ]]. [[Thomas Joannes Stieltjes]] je leta
: <math> \left| M(n) \right| < \sqrt { n } \!\, , </math>
Vrstica 33 ⟶ 35:
: <math> M(n)\over \sqrt { n } \!\, </math>
vedno med dvema stalnima mejama. Stieltjes dokaza ni nikoli objavil, ker je verjetno našel napako. [[Franz Mertens]] je leta
: <math> M(n) = o \left( n^{(1/2) + \epsilon} \right) \!\, , </math>
Vrstica 50 ⟶ 52:
kjer je <math>\zeta(s)</math> Riemannova funkcija ζ, produkt pa teče po vseh praštevilih. Z [[Dirichletova vrsta|Dirichletovo vrsto]] in [[Perronova enačba|Perronovo enačbo]] velja:
: <math> \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}
kjer je
Na drugi strani velja [[Mellinova transformacija]]:
: <math> \frac{1}{\zeta(s)} = s\
za <math>\Re(s)>1</math>.
Vrstica 66 ⟶ 68:
Dobro asimptotično oceno da Laplaceova metoda najhitrejšega spusta prek [[neenakost]]i:
: <math> \oint_{C}
kjer se predpostavi, da, če ne obstajajo večkratne netrivialne ničle <math> \zeta (\rho) </math>, izhaja »eksaktna formula« z izrekom o ostankih:
: <math> \frac{1}{2 \pi i} \oint _ {C}
[[Hermann Weyl|Weyl]] je domneval, da za Mertensovo funkcijo velja približna [[funkcijska enačba|funkcijsko]]-[[diferencialna enačba]]:
: <math> \frac{1}{2}y(x) - \sum_{r=1}^{N} \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_{t}^{2r-1}y\left( \frac{x}{t+1} \right )+x\int_{0}^{x}
kjer je ''H''(''x'') [[Heavisidova skočna funkcija]], <math>B_{2r}</math> [[Bernoullijevo število|Bernoullijeva števila]] in vsi [[odvod]]i po ''t'' so izračunani v ''t'' = 0.
[[Edward Charles Titchmarsh|Titchmarsh]] je leta 1960 zapisal sledno formulo, ki vsebuje vsoto prek Möbiusove funkcije in ničel Riemannove funkcije ζ:
: <math> \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}} g \log n = \sum_{t} \frac{h(t)}{\zeta'(1/2+it)}+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} (2\pi )^{2n}}{(2n)! \zeta(2n+1)}\int_{-\infty}^{\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} \, {\rm d} x \!\, , </math>
kjer vsota po 't' poteka prek imaginarnih delov netrivialnih ničel, (g, h) pa povezuje [[Fourierjeva transformacija]], da velja:
: <math> \pi g(x)= \int_{0}^{\infty}h(u)\cos(ux) \, {\rm d} u \!\, . </math>
=== Vsota Fareyjevega zaporedja ===
|