Mertensova funkcija: Razlika med redakcijama

m
m+/-p::letnice/siz
m (r2.7.1) (robot Dodajanje: ru:Функция Мертенса)
m (m+/-p::letnice/siz)
[[Slika:Mertens function.svg|thumb|right|250px|Graf Mertensove funkcije <math>M(n)\, ; n=1\cdots10000</math>]]
 
'''Mertensova fúnkcija''' [mértensova ~] je v [[teorija števil|teoriji števil]] [[aritmetična funkcija]] določena z [[vsota|vsoto]]:
 
: <math> |M(n)| > n \!\, . </math>
 
Mertensova funkcija je v tesni zvezi z ničlami [[Riemannova funkcija zeta|Euler-Riemannove funkcije ζ]]. [[Thomas Joannes Stieltjes]] je leta [[1885]] v pismu svojemu sodelavcu [[Charles Hermite|Hermitu]] nakazal povezavo Mertensove funkcije z [[Riemannova domneva|Riemannovo domnevo]] in trdil, da je našel dokaz da velja:
 
: <math> \left| M(n) \right| < \sqrt { n } \!\, , </math>
: <math> M(n)\over \sqrt { n } \!\, </math>
 
vedno med dvema stalnima mejama. Stieltjes dokaza ni nikoli objavil, ker je verjetno našel napako. [[Franz Mertens]] je leta [[1897]] objavil 50 strani dolgo tabelo vrednosti za ''M''(''n'') za števila do 10.000. Na podlagi tabele je menil, da je Stieltjesova neenakost zelo verjetna. Danes to imenujemo [[Mertensova domneva]], katere negativen izzid sta dokazala leta [[1985]] [[Herman te Riele|te Riele]] in [[Andrew Michael Odlyzko|Odlyzko]]. Ker Mertensova in Riemannova domneva nista enakovredni, iz neveljavnosti Mertensove domneve ne moremo sklepati o Riemannovi domnevi. Če pa bi Mertensova domneva veljala, bi veljala tudi Riemannova. Riemannova domneva je enakovredna šibkejši domnevi o rasti funkcije <math>M(n)</math>, namreč, da velja:
 
: <math> M(n) = o \left( n^{(1/2) + \epsilon} \right) \!\, , </math>
kjer je <math>\zeta(s)</math> Riemannova funkcija ζ, produkt pa teče po vseh praštevilih. Z [[Dirichletova vrsta|Dirichletovo vrsto]] in [[Perronova enačba|Perronovo enačbo]] velja:
 
: <math> \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}ds {\rm d}s \frac{x^{s}}{s\zeta(s) }=M(x) \!\, , </math>
 
kjer je »''C«'' [[krivuljni integral|sklenjena krivulja]], ki obkroža vse ničle <math>\zeta(s)</math>.
 
Na drugi strani velja [[Mellinova transformacija]]:
 
: <math> \frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1int_{1}^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}\,dx{\rm d} x \!\, </math>
 
za <math>\Re(s)>1</math>.
Dobro asimptotično oceno da Laplaceova metoda najhitrejšega spusta prek [[neenakost]]i:
 
: <math> \oint_{C}dsF {\rm d} sF(s)e^{st} \sim M(e^{t}) \!\, , </math>
 
kjer se predpostavi, da, če ne obstajajo večkratne netrivialne ničle <math> \zeta (\rho) </math>, izhaja »eksaktna formula« z izrekom o ostankih:
 
: <math> \frac{1}{2 \pi i} \oint _ {C}ds{\rm d} s \frac{x^s}{s \zeta (s)} = \sum _ {\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho \zeta '(\rho)}-2+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n-1} (2\pi )^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}} \!\, . </math>
 
[[Hermann Weyl|Weyl]] je domneval, da za Mertensovo funkcijo velja približna [[funkcijska enačba|funkcijsko]]-[[diferencialna enačba]]:
 
: <math> \frac{1}{2}y(x) - \sum_{r=1}^{N} \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_{t}^{2r-1}y\left( \frac{x}{t+1} \right )+x\int_{0}^{x}du {\rm d} u \frac{y(u)}{u^{2}}=x^{-1}H(\log x) \!\, , </math>
 
kjer je ''H''(''x'') [[Heavisidova skočna funkcija]], <math>B_{2r}</math> [[Bernoullijevo število|Bernoullijeva števila]] in vsi [[odvod]]i po ''t'' so izračunani v ''t'' = 0.
 
[[Edward Charles Titchmarsh|Titchmarsh]] je leta 1960 zapisal sledno formulo, ki vsebuje vsoto prek Möbiusove funkcije in ničel Riemannove funkcije ζ:
 
: <math> \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}} g \log n = \sum_{t} \frac{h(t)}{\zeta'(1/2+it)}+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} (2\pi )^{2n}}{(2n)! \zeta(2n+1)}\int_{-\infty}^{\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} \, {\rm d} x \!\, , </math>
 
kjer vsota po 't' poteka prek imaginarnih delov netrivialnih ničel, (g, h) pa povezuje [[Fourierjeva transformacija]], da velja:
 
: <math> \pi g(x)= \int_{0}^{\infty}h(u)\cos(ux) \, {\rm d} u \!\, . </math>
 
=== Vsota Fareyjevega zaporedja ===