Ukrivljenost: Razlika med redakcijama

'''Ukrivljenost''' (oznaka <math> \kappa \,</math>) v [[matematika|matematiki]] pove koliko geometrijski objekt odstopa od ravnosti, kot jo poznamo pri premici. V ravnini je ukrivljenost skalarna količina, v treh ali več razsežnostih je ukrivljenost določena z [[diferencialna geometrija krivulj|vektorjem ukrivljenosti]], ki upošteva razen smeri še ostrino ukrivljenosti. Pri kompleksnejših objektih določamo ukrivljenost s kompliciranimi pojmi iz [[linearna algebra|linearne algebre]], kot je na primer [[Riemannov tenzor ukrivljenosti]]. Ločiti pa moramo med ''notranjo'' in [[Ukrivljenost Riemannovih mnogoterosti|zunanjo ukrivljenostjo]]. Zunanja ukrivljenost je definirana za objekte, ki so potopljeni v druge prostore (običajno v Evklidski prostor) tako, da je ukrivljenost povezana s polmerom krožnice, ki je pritisnjena h krivulji. Notranja ukrivljenost pa je definirana v vsaki točki [[Riemannove mnogoterosti]]. V nadaljevanju je opisana zunanja ukrivljenost.

[[Slika:FrenetTN.svg|thumb|right|350px|Prikazana sta vektorja '''T''' in '''N''', ki skupaj tvorita osnovni sistem. Vektorja sta prikazana v dveh točkah ravninske krivulje, vidi se sprememba vektorja '''T''' pri prehodu do druge točke, ki je samo premaknjena oblika prvega okvirja. V drugi točki, ki jo opisuje premaknjena oblika prvega okvirja, je nastala spremeba vektorja '''T''' v velikosti '''T''': δ'''T'''' kjer je δs razdalja med točkama. V limiti bi imel <math>\tfrac{d\mathbf{T}}{ds}</math> enako smer kot '''N''' in tako ukrivljenost opisuje hitrost vrtenja osnovnega sistema.]]

* <math> k(s) </math> usmerjena ali orientirana ukrivljenost s predznakom

Naj bo <math> C </math> prostorska krivulja v vsaj treh razsežnostih. Ukrivljenost je pospešek telesa, ki se giblje z enotsko hitrostjo vzdolž krivulje. Če z <math> y(s) </math> označimo parametrizacijo krivulje <math> C </math>, potem je enotski tangentni vektor <math> T(s) </math> dan z

Tangenta , ukrivljenost in normalni vektor opisujejo obnašanje krivulje v bližini dane točke. V treh razsežnostih se obnašanje krivulje lahko opiše s pojmom [[torzija krivulje|torzija]] (glej [[vzvoj]]), ki meri kakšna je torzijska ukrivljenost ali zvitost. Krivulja je ravninska, če je njena torzijska ukrivljenost oziroma zvitost enaka 0. Torzija in ukrivljenost sta povezani z [[Frenet-Serretov obrazec|Frenet-Serretovimi obrazci]] in posplošitvami na višje razsežnosti. Torzijska ukrivljenost meri odstopanje krivulje od tega, da bi bila ravninska. Krivulja v prostoru

Po odkritju notranje ukrivljenosti, ki je močno povezana z [[Neevklidska geometrija|neevklidsko geometrijo]] so se mnogi matematiki in znanstveniki spraševali, če je fizični prostor ukrivljen. Mnogi so trdili, da bi morala biti ukrivljenost astronomsko velika. V [[splošna teorija relativnosti|splošni teoriji relativnosti]] se je to posplošilo z ukrivljenostjo [[prostor-čas|prostor-časa]]a. V relativnostni teoriji je prostor-čas [[psevdo-Riemannnova mnogoterost]]. Ko je enkrat časovna koordinata določena, je trirazsežni prostor v tem trenutku ukrivljena Riemannova mnogoterost.

Pozitivna ukrivljenost pripada obratni vrednosti kvadrata polmera ukrivljenosti. Primer je [[sfera]] oziroma [[n-sfera|hipersfera]]. Primer negativno ukrivljenega prostora je [[hiperbolična geometrija]]. Prostor ali prostor-čas, ki ima ukrivljenost enako 0, je raven. Primer ravnega prostora je [[Evklidski prostor]], primer ravnega prostor-časa pa je [[prostor Mikowskega]] (imenuje se po [[Nemci|nemškem]] [[matematik]]u [[Herman Minkowski|Hermanu Minkowskem]] (1864 – 1909).).

[[Slika:Parallel transport.png|thumb|Vzporedni prenos vektorja od ''A'' &rarr;→ ''N'' &rarr;→ ''B'' da drugi vektor. Nemožnost vrnitve na začetni vektor se meri z holonomijo ploskve.]]

Ena izmed takšnih posplošitev je kinematska. Ukrivljenost se v njej obravnava kot kinematska količina, ki jo predstavlja sila, ki jo čuti opazovalec, ki se giblje vzdolž krivulje. Lahko rečemo, da ukrivljenost lahko gledamo kot vrsto [[plimska sila|plimske sile]].

Znani sta še dve posplošitvi pojma ukrivljenosti. Prva je [[skalarna ukrivljenost]], druga pa je [[Riccijeva ukrivljenost]] (imenovana po [[Italijani|italijanskem]][[matematik]]u [[Gregorio Ricci-Curbastro|Gregoriu Ricci-Curbastru]] (1853 – 1925).). Na ukrivljeni ploskvi, kot je sfera, se ploščina kroga razlikuje od ploščine kroga v ravnem prostoru. Ta razlika se meri s skalarno ukrivljenostjo. Razlika v ploščini krožnega izseka pa se meri z Riccijevo ukrivljenostjo. Skalarna in Riccijeva ukrivljenost lahko definiramo na podoben način v treh ali več razsežnostih. Obe sta pomembni v teoriji relativnosti, kjer obe nastopata v [[Einsteinova enačba polja|Einsteinovih enačbah polja]]. Te enačbe opisujejo geometrijo prostor-časa. Te posplošitve tvorijo osnovo za predstavo, da je ukrivljenost lastnost [[mera (matematika)|mere]].