Razsežnostna analiza: Razlika med redakcijama

dodanih 120 zlogov ,  pred 10 leti
m
dp/Janez stric
m (robot Dodajanje: ht:Analiz dimansyonèl)
m (dp/Janez stric)
'''Razsežnostna analiza''' (tudi '''dimenzijska analiza''') je orodje s katerim si v [[fizika|fiziki]], [[kemija|kemiji]], [[tehnika|tehniki]] in delno v [[ekonomija|ekonomiji]] pomagamo razumeti lastnostiznačilnosti in obliko [[fizikalna količina|fizikalnih količin]]. S pomočjo razsežnostne analize število spremenljivk zmanjšamo na manjše število parametrov, ki nastopajo v enačbi, in s tem poenostavimo problem.
 
Velikost vsake fizikalne količine lahko opišemo kot kombinacijo osnovnih [[merska enota|merskih enot]], ki določajo [[dolžina|dolžino]], [[masa|maso]], [[čas]], [[električni naboj]] in [[temperatura|temperaturo]], ki jih imenujemo razsežnosti[[razsežnost]]i (prava razsežnost pripada samo dolžini - prostoru in času). Razsežnosti osnovnih merskih enot označujemo z '''M''', '''L''', '''T''', '''Q''' in '''Θ'''. Tako npr. za [[hitrost]], ki jo lahko [[meritev|merimo]] v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemo, da ima hitrost razsežnost '''L'''/'''T''' ali '''LT'''<sup> -1</sup>. Podobno lahko razsežnot [[sila|sile]] napišemo kot '''ML'''/'''T'''<sup> 2</sup>.
Tako n. pr. za [[hitrost]], ki jo lahko merimo v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemo, da ima hitrost razsežnost '''L'''/'''T''' ali '''LT'''<sup> -1</sup>. Podobno lahko razsežnot [[sila|sile]] napišemo kot '''ML'''/'''T'''<sup> 2</sup>.
 
Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnot, [[kilogram]] pa je merska enota z dimenzijorazsežnostjo [[masa|mase]] (oznaka '''M''').
 
== Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah ==
|[[čas]]||<math>T \,</math>
|-
|[[električni naboj]]||<math>Q \,</math>
|-
|[[temperatura]]||<math> \Theta \,</math>
|}
 
== Izvedba analizerazsežnostne razsežnostianalize ==
 
AnalizaRazsežnostna razsežnostianaliza se izvaja na osnovi [[Buckinghamov izrek π izrek|Buckinghamovega izreka π izreka]].
 
Analiza se izvaja v več korakih.
*1. korak
Določitev odvisnih spremenljiv. Predpostavimo, da je neodvisna spremenljivka <math> N \,</math> odvisna od <math>n \,</math> spremenljivk, ki jih označimo s <math>q \,</math>.
 
: <math> N = f(q_1, \ldots, q_n) \,</math>.
 
Določimo tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko <math> N \,</math>. To število označimo z <math> m \,</math>. Za vsako spremenljivko lahko določimo tudi njeno razsežnost. Zgornji izraz lahko napišemo tudi kot:
 
Za vsako spremenljivko lahko določimo tudi njeno razsežnost.
: <math> f(q_1, \ldots, q_n) - N = 0\,</math>
Zgornji izraz lahko napišemo tudi kot
 
: <math> f(q_1, \ldots, q_n) - N = 0\,</math>
To lahko v skladu s Buckinhamovim izrekom π izrekom zapišemo kot :
 
: <math>f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_{n-m}) \!\, , </math>
 
To lahko v skladu s Buckinhamovim π izrekom zapišemo kot
: <math>f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_{n-m}) \,</math>
kjer so
* <math> \pi_i \,</math> brezdimenzijskebrezrazsežne količine
 
To pomeni, da je:
: <math> \pi_1 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math>
: <math> \pi_2 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math>
: ….
kjer so <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> … [[racionalno število|racionalna števila]].</br>
 
Skupaj imamo <math>n-m \,</math> enačb.
 
*2. korak
Na levi strani enačb imamo brezdimenzijskebrezrazsežne količine (posamezni <math> \pi \,</math>). To pomeni, da imajo vse razsežnosti [[potenciranje|stopnjo potence]] ˙(eksponent) enako 0.
 
*3. korak
Zamenjajmo vse količine, ki nastopajo v enačbah za <math> \pi \,</math> z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabimo izraze za razsežnosti iz tabele). Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake.
Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake.
 
*4. korak
Tako dobimo sistem enačb, ki ga moramo rešiti. Z rešitvijo enačb v resnici dobimo vrednosti za <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk <math> q_n \,</math> v analiziranem izrazu za fizikalno količino.
 
== PrimerZgled ==
 
Kot primerzgled vzemimo [[nihalo]] brez trenja ([[matematično nihalo]]), ki niha od ravnotežne lege za manj kot 5[[kotna stopinja|°]]. Dolžina nihala je enaka <math>l \,</math>, [[masa]] nihala je enaka <math> m \,</math>, [[težni pospešek]] označimo z <math>g \,</math>
 
Za matematično [[nihalo]] velja :
 
:<math>f(T,M,L,g) = 0 \!\, . </math>
 
Za matematično [[nihalo]] velja
:<math>f(T,M,L,g) = 0\,</math>
V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki ga označimo s <math> \pi \,</math>, ki je enak:
: <math>\Pi = l^{x_1} \cdot g^{x_2} \cdot m^{x_3} \cdot t^{x_4} </math>
 
: <math>\Pi = l^{x_1} \cdot g^{x_2} \cdot m^{x_3} \cdot t^{x_4} \!\, . </math>
Vrednost za π je brez dimenzije. Zamenjajmo posamezne količine z izrazi za razsežnost in dobimo
 
: <math>L^{x_1} \cdot (L/{T^2})^{x_2} \cdot M^{x_3} \cdot T^{x_4} </math>
Vrednost za π je brez dimenzijerazsežnosti. Zamenjajmo posamezne količine z izrazi za razsežnost in dobimo:
 
: <math>L^{x_1} \cdot (L/{T^2})^{x_2} \cdot M^{x_3} \cdot T^{x_4} \!\, . </math>
 
Iz tega dobimo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti [[potenciranje|eksponent]] enak nič)
: za čas T: <math>-2 \cdot x_2 + x_4 = 0</math>
 
Za rešitve sistema enačb dobimo </br>:
<math>x_4 = 1 \,</math>, </br>
<math>x_2 =1/2 \,</math>, </br>
<math>x_1 = -1/2 \,</math>, </br>
<math>x_3 = 0 \,</math>
 
To nam za: <math>x_4 \pi= 1 \,</math> da vrednost ,
: <math>\Pix_2 = \sqrt{g 1/ l}2 \cdot m^0 \cdot t = \sqrt{g / l} \cdot t ,</math>,
: <math>x_4x_1 = -1/2 \,</math>, </br>
oziroma
: <math>x_3 \sqrt{g= / l}0 \cdot t = const ,</math>
 
To nam za <math> \pi \,</math> da vrednost:
 
: <math>t \Pi = 2\sqrt{g / l} \cdot \pim^0 \cdot t = \sqrt{lg / gl} \cdot t \!\, , </math>
 
oziroma:
 
: <math> \sqrt{g / l} \cdot t = \mathrm{konst.} \!\, . </math>
 
Pravi izraz za nihajni čas matematičnega nihala pa je:
 
: <math>t = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l / g} \!\, . </math>
 
Pravi izraz za nihajni čas matematičnega nihala pa je
: <math>t = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l / g}</math>
== Zunanje povezave ==
 
* [http://www.roymech.co.uk/Related/Fluids/Dimension_Analysis.html Pregled razsežnosti fizikalnih količin] {{ikona en}}
* [http://chemeng.iisc.ernet.in/kumaran/chap1.pdf Opis razsežnostne analize] {{ikona en}}
* [http://www.aerostudents.com/files/aerodynamicsA/dimensionalAnalysis.pdf Uporaba razsežnostne analize] {{ikona en}}
* [http://neohumanism.org/d/di/dimensional_analysis.html Opis razsežnostne analize] {{ikona en}}
 
 
[[Kategorija:Meroslovje]]