Odpre glavni meni

Spremembe

m
robot Spreminjanje: tr:Reel sayılar; kozmetične spremembe
Realna števila in z njimi povezani matematični pojmi, kot so zaporedja, limite in realne funkcije, so osrednji predmet preučevanja področja matematike, imenovanega [[realna analiza]].
 
Realno število je [[izračunljivo število|izračunljivo]], če obstaja [[algoritem]], s katerim lahko izračunamo vse njegove števke. Ker je algoritmov [[števna neskončnost|števno]] mnogo, realnih števil pa neštevno mnogo, večina realnih števil ni izračunljivih. Izkaže se, da so izračunljiva skoraj vsa realna števila, s katerimi se srečamo v praksi, na primer racionalna, algebrska in znana transcedentna števila ''ππ'', ''e'', log(2) itn. Nekateri [[konstruktivizem (matematika)|konstruktivisti]] priznavajo le obstoj izračunljivih števil na osnovi svojega [[filozofija|filozofskega]] pogleda na matematiko. Z nastopom sodobnih [[računalnik]]ov pa je teorija izračunljivih števil postala zanimiva tudi v [[teoretično računalništvo|teoretičnem računalništvu]].
 
Širša od množice izračunljivih števil, a še vedno števna, je [[množica]] [[določljivo število|določljivih števil]] (definibilnih števil). To so taka števila, ki jih lahko enolično opišemo z logičnim izrazom, čeprav morda ne znamo izračunati njihovih števk.
 
Digitalni [[računalnik]]i ne morejo računati neposredno z realnimi števili, ampak lahko v končnem številu korakov izračunajo le [[končni približek]] pravega rezultata. Za običajne potrebe zadostujejo približki realnih števil, ki jih predstavimo s podatkovnima tipoma [[število s plavajočo vejico|števil s plavajočo vejico]] ali [[število s fiksno vejico|števil s fiksno vejico]]. [[Računalniški algebrski sistem]]i obravnavajo nekatera realna števila tako, da shranijo njihov simbolni zapis (npr. »1 − sin(pi/7) + sqrt(2)«) namesto decimalnega približka. Obstaja tudi več vrst pravih [[realni podatkovni tip|realnih podatkovnih tipov]], s katerimi dejansko predstavimo vsa (izračunljiva) realna števila. Seveda lahko v končnem številu korakov izračunamo le približek tako predstavljenega realnega števila.
 
[[Matematik]]i uporabljajo za oznako množice realnih števil oznako '''R''' ali <math> \Bbb{R} </math>.
Realnih števil je [[neskončnost|neskončno]] mnogo. Vendar pa je realnih števil več kot [[naravno število|naravnih]], z drugimi besedami je [[kardinalno število]] [[množica|množice]] realnih števil večje ob števila množice naravnih, v kar se prepričamo s [[Cantorjev diagonalni dokaz|Cantorjevim diagonalnim dokazom]]. To pomeni, da ne obstaja nobena [[bijektivna preslikava]] iz ene množice v drugo.
 
== Definicija realnih števil ==
 
Znani sta dve enakovredni definiciji realnih števil. Tukaj podamo podrobno [[Augustin Louis Cauchy|CauchyCauchyevo]]evo definicijo, [[Julius Wilhelm Richard Dedekind|DedekindDedekindovo]]ovo pa samo omenimo.
 
[[Cauchyjevo zaporedje]] [[racionalno število|racionalnih števil]] je zaporedje {''x''<sub>i</sub>}, ''i'' = 0, 1, 2, ... racionalnih števil, ki ustreza [[Cauchyjev pogoj|Cauchyjevemu pogoju]]: za vsako racionalno število &epsilon;ε > 0, obstaja takšno [[naravno število]] ''N'', da za vsa naravna števila ''n'', ''m'' > ''N'' velja |''x''<sub>n</sub> - ''x''<sub>m</sub> | < &epsilon;ε. Cauchyjevi zaporedji {''x''<sub>i</sub>} in {''y''<sub>i</sub>} sta ''ekvivalentni'', pišemo
{''x''<sub>i</sub>} ~ {''y''<sub>i</sub>}, če je tudi prepleteno zaporedje ''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ... Cauchyjevo. Množica realnih števil, označena z '''R''' ali <math>\mathbb{R}</math>, je množica [[ekvivalenčni razred|ekvivalenčnih razredov]] Cauchyjevih zaporedij glede na [[ekvivalenčna relacija|ekvivalenčno relacijo]] ~.
 
* za vsak ''q'' iz ''S'' obstaja tak ''r'' v ''S'', da je ''q'' < ''r'',
* obstaja ''q'', ki ni element ''S''.
Na primer, Dedekindov presek, ki predstavlja realno število <math>\sqrt{2}</math>, je množica vseh tistih racionalnih števil ''q'', za katere je ''q'' < 0 ali ''q''<sup>2</sup> < 2.
 
{{zvezdica}}
 
[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:Števila]]
[[sv:Reella tal]]
[[th:จำนวนจริง]]
[[tr:GerçelReel sayılar]]
[[uk:Дійсні числа]]
[[uz:Haqiqiy sonlar]]
93.376

urejanj