Primitivna funkcija: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m robot Spreminjanje: pl:Funkcja pierwotna |
m dp/d je funkcija |
||
Vrstica 3:
: <math> F'(x) = f(x), \quad x \in \R \!\, . </math>
Postopek reševanja za primitivne funkcije je iskanje [[nedoločeni integral|nedoločenega integrala]]. Primitivne funkcije so povezane z [[določeni integral|določenimi integrali]] prek [[osnovni izrek
== Zgledi ==
Vrstica 92:
== Uporabe in lastnosti ==
Primitivne funkcije so pomembne, ker z njimi lahko rešimo določene integrale s pomočjo osnovnega izreka matematične analize. Če je <math>F(x)</math> primitivna funkcija integrabilne funkcije <math>f(x)</math>, potem velja:
: <math> \int_{a}^{b} f(x) \,
Zaradi tega se včasih neskončno mnogo primitivnih funkcij dane funkcije <math>f(x)</math> imenuje »splošni integral« ali »nedoločeni integral« funkcije <math>f(x)</math> in se zapiše s simbolom za integral brez mej:
: <math> \int f(x) \,
Če je <math>F_{1} (x)</math> primitivna funkcija <math>f(x)</math> in je funkcija <math>f(x)</math> definirana na kakšnem [[interval]]u, se vsaka druga primitivna funkcija <math>F_{2} (x)</math> funkcije <math>f(x)</math> razlikuje od <math>F_{1} (x)</math> za konstanto. Obstaja takšno [[število]] ''C'', da velja <math>F_{2} (x) = F_{1} (x) + C</math> za vse ''x''. ''C'' je poljubna aditivna konstanta.
Vrstica 104:
Če je [[definicijsko območje|domena]] <math>F(x)</math> [[disjunktna unija]] dveh ali več intervalov, lahko za vsak interval izberemo različne aditivne konstante. Na primer:
: <math> F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_{1}\quad x<0\\-\frac{1}{x}+C_{2}\quad x>0\end{cases} </math>
je najbolj splošna primitivna funkcija <math>f(x)=1/x^{2}</math> na svoji naravni domeni <math>(-\infty,0)\cup(0,\infty).</math>
Vrstica 110:
Vsaka [[zvezna funkcija]] <math>f(x)</math> ima primitivno funkcijo in ena primitivna funkcija <math>F(x)</math> je dana z določenim integralom <math>f(x)</math>, kjer je spremenljivka zgornja meja:
: <math> F(x)=\int_a^x f(t) \,
Če spreminjamo spodnjo mejo, dobimo druge primitivne funkcije, ne pa nujno vseh možnih. To je druga predstavitev
Obstaja mnogo funkcij, katerih primitivne funkcije, čeprav obstajajo, ni moč izraziti z [[elementarna funkcija|elementarnimi funkcijami]] kot so [[polinom]]i, [[eksponentna funkcija|eksponenetne funkcije]], [[logaritem|logaritmi]], [[trigonometrična funkcija|trigonometrične funkcije]], [[krožna funkcija|obratne trigonometrične funkcije]] ali njihove kombinacije. Zgledi takšnih funkcij so:
: <math>\int \frac{1}{e^{x^{2}}} \,
Z [[
== Tehnike integracije ==
Vrstica 165:
: <math> F(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x} </math>
z vrednostjo <math>F(0)=0</math>. Ker je <math>f(x)</math> omejena na zaprtih končnih intervalih in je nezvezna edino v točki 0, lahko njeno primitivno funkcijo <math>F(x)</math> določimo z integracijo: <math>F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \,
</li>
<li>Funkcija:
Vrstica 205:
za vse ''x'' v množici <math>\{F(x_n)\}_{n\ge1}</math>, ki je gosta na intervalu <math>\left[F\left(-1\right),F\left(1\right)\right]</math>. Tako ima <math>g(x)</math> primitivno funkcijo <math>G(x)</math>. Na drugi strani ne more veljati:
: <math> \int_{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,
ker lahko za vsako particijo <math>\left[F\left(-1\right),F\left(1\right)\right]</math> izberemo vzorčne točke Riemannove vsote iz množice <math>\{F(x_n)\}_{n\ge1}</math>, ki dajo vrednost za vsoto enako 0. Sledi, da ima <math>g(x)</math> množico nezveznosti s pozitivno Lebesguovo mero. Slika 1 prikazuje približek za graf <math>g(x)</math>, kjer je <math>\{x_n=\cos(n)\}_{n\ge1}</math> in je vzetih prvih 8 členov. Slika 2 prikazuje graf približka primitivne funkcije <math>G(x)</math>, tudi s prvimi 8. členi. Če Riemannov integral zamenjamo z [[Lebesguov integral|Lebesguovim integralom]], potem [[Fatouova lema]] ali [[izrek o prevladujoči konverhenci|Lebesguov izrek o prevladujoči konvergenci]] pokažeta, da <math>g(x)</math> v tem smislu zadovoljuje osnovni izrek analize.
| |||