Redakcija: 19:12, 2. marec 2010 uredi Xqbot (pogovor \| prispevki) Boti 94.945 urejanj m robot Dodajanje: ur:حسابان کا بنیادی قضیہ ← Starejše urejanje		Redakcija: 01:49, 15. maj 2010 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m dp/slog Novejše urejanje →
Vrstica 1: '''Osnovni izrek infinitezimalnega računa''' (tudi '''~~Osnovni~~osnovni izrek matematične analize''') podaja povezavo med [[odvod]]om, [[nedoločeni integral\|nedoločenim ~~inegralom~~integralom]] in [[določeni integral\|določenim integralom]]. Prvi delni [[matematični dokaz\|dokaz]] tega izreka je objavil [[James Gregory]] (1638-1675), dopolnjeno ~~verzijo~~različico dokaza pa je sestavil [[Isaac Barrow]] (1630-1677). Širšo teorijo infinitezimalnega računa sta sestavila istočasno in neodvisno endrug od drugega [[Isaac Newton]] (1643–1727) in [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646–1716). == Intuitivno ozadje == Eden od glavnih problemov integralskega računa je seštevanje [[infinitezimala\|infinitezimalno]] majhnih količin. Za zgled si poglejmo preprost ~~fizikalni~~[[fizika]]lni problem: [[telo (fizika)\|telo]], ki se neenakomerno [[gibanje\|giblje]]. V infinitezimalno majhnem času d''dtt'' opravi infinitezimalno majhno pot d''dss''. Razmerje med d''dss'' in d''dtt'' je fizikalno gledano enako [[hitrost]]i v določenem trenutku: : <math> \frac{ds\mathrm{d}s}{dt\mathrm{d}t}=v(t) \!\, . </math> Matematično gledano pa je to [[odvod]] poti ''s'' kot [[funkcija\|funkcije]] časa (zapis d''dss''/d''dtt'' je Leibnizev način za zapis odvoda funkcije ''s'' po spremenljivki ''t''). Če [[enačba\|enačbo]] preuredimo, dobimo: : <math>ds \mathrm{d}s=v(t)\,dt\mathrm{d}t \!\, . </math> Zdaj se vprašajmo, kolikšna je celotna pot, ki jo opravi telo. Celotna pot ''s'' je seštevek vseh delnih poti d''dss''. Ta seštevek označimo z integralskim znakom, ki izhaja iz velike črke S (S kot suma, seštevek). Če seštevamo delne poti d''dss'' seveda dobimo isto, kot če seštevamo ustrezne izraze ''v(t)'' dtd''t'': : <math> s=\int ds\mathrm{d}s = \int v(t)\,dt\mathrm{d}t \!\, . </math> To pomeni, da je rezultat integrala funkcija ''s'', katere odvod je funkcija ''v(t)''. == Matematična formulacija == Osnovni izrek infinitezimalnega računa po navadi formuliramo v dveh korakih === Prvi korak === Naj bo realna funkcija ''f'' na [[interval]]u [''a,b''] zvezna. Definirajmo novo funkcijo ''F'' s formulo: : <math> F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\mathrm{d}t \!\, . </math> Izkaže se, da je funkcija ''F'' na [''a,b''] odvedljiva in njen odvod je enak funkciji ''f'': ~~:<math>F'(x) = f(x)\,</math>~~ : <math> F'(x) = f(x)\!\, . </math> Torej: če določeni integral <math>\int_a^x f(t)\,dt\mathrm{d}t</math> odvajamo glede na zgornjo mejo, dobimo kot rezultat ''f''. To pomeni, da sta odvod in integral med seboj nasprotni operaciji. === Drugi korak === Naj bo realna funkcija ''f'' na intervalu [''a,b''] zvezna. Z nedoločenim integralom dobimo [[primitivna funkcija\|primitivno funkcijo]] in jo označimo ''F'': : <math> F(x)=\int f(x)\,dx\mathrm{d}x\!\, , </math> oziroma <math>F'(x)=f(x)\!\, . </math> Potem za določeni integral velja: : <math> \int_a^b f(x)\,dx\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \!\, . </math> To zvezo imenujemo '''Newton-Leibnizeva formula'''. == Zgled == [[Slika:Opp sin.gif\|thumb\|right\|200px\|Zgled]] Recimo, da želimo izračunati [[ploščina\|ploščino]] lika, ki ga omejujeta [[abscisna os]] in [[graf funkcije]] ''f(x)'' = sin ''x'' med dvema zaporednima [[ničla funkcije\|ničlama]] (glej sliko). Ploščina je enaka določenemu integralu funkcije ''f(x)'' = sin ''x'' na intervalu [0,''π'']. Določeni integral izračunamo tako, da najprej s pomočjo nedoločenega integrala izračunamo primitivno funkcijo ''F(x)'' = −cos ''x'' + ''C'' in potem uporabimo Newton-Leibnizevo formulo ''F(b) − F(a)'' (pri tem se člen ''C'' uniči, zato ga po navadi sploh ne zapišemo): : <math> p=\int_0^\pi \sin x\,dx\mathrm{d}x=\left.-\cos x\right\|_0^\pi=-\cos\pi+-(-\cos 0)=2 \!\, . </math> Torej je ploščina osenčenega lika enaka 2. == Glej tudi == * [[odvod]] * [[integral]] Vrstica 54 ⟶ 68: [[Kategorija:Matematični izreki]] [[Kategorija:Isaac Newton]] [[ar:المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل]]

Osnovni izrek infinitezimalnega računa: Razlika med redakcijama