Redakcija: 22:15, 14. maj 2009 uredi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m →‎Bertrandov izrek ← Starejše urejanje		Redakcija: 22:20, 14. maj 2009 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m →‎Bertrandov izrek Novejše urejanje →
Vrstica 33: == Bertrandov izrek == Kot je omenjeno zgoraj, lahko centralne sile ~~lahko~~ za dano začetno hitrost povzročajo krožne tire. Vendar pri določeni radialni hitrosti ti tiri niso nujno stabilni ali sklenjeni. Stabilne in strogo sklenjene tire lahko povzročajo le obratne kvadratne sile in potencial harmoničnega oscilatorja (pokazana sta potreben in zadosten pogoj). V enačbo za <math>u</math> zaradi zgoščenega zapisa uvedemo funkcijo <math>J(u)</math>: : <math> \frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = J(u) \equiv -\frac{m}{L\Gamma^{2}} \frac{d}{du} V(1/u) = -\frac{m}{L\Gamma^{2}u^{2}} f(1/u) \!\, , </math> kjer <math>f</math> predstavlja radialno silo. Po kriteriju za popolno [[krožno gibanje]] pri polmeru <math>r_{0}</math> mora biti prvi člen na levi strani ~~biti~~ enak 0: : <math> u_{0} = J(u_{0}) \!\, , </math> Vrstica 57: : <math> \frac{d^{2}\eta}{d\theta^{2}} + \beta^{2} \eta = \frac{1}{2} \eta^{2} J^{\prime\prime}(u_{0}) + \frac{1}{6} \eta^{3} J^{\prime\prime\prime}(u_{0}) \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\beta^{2} \equiv 1 - J^{\prime}(u_{0})</math> konstanta. <math>\beta^{2}</math> mora ~~bit~~biti [[nenegativno število\|nenegativna]], drugače se bo polmer tira spreminjal [[eksponentna funkcija\|eksponentno]] od vrednosti začetnega polmera. (Rešitev <math>\beta=0</math> odgovarja popolnoma krožnemu tiru.) Če lahko zanemarimo desno stran (npr. pri ''zelo'' malih motnjah), so rešitve: : <math> \eta(\theta) = h_{1} \cos \beta\theta \!\, , </math> kjer je <math>h_{1}</math> [[integracijska konstanta]]. Da so tiri sklenjeni, mora biti <math>\beta</math> [[racionalno število]]. Mora ~~bit~~biti tudi ''enako'' racionalno število za vse polmere, saj se <math>\beta</math> ne more vseskozi spreminjati; racionalna števila so med seboj popolnoma nepovezana. Ker morajo enačbe iz definicije: : <math> J^{\prime}(u_{0}) \equiv -2 + \frac{u_{0}}{f(1/u_{0})} \frac{df}{du} = 1 - \beta^{2} \!\, </math> Vrstica 75: Zaradi tega mora <math>J</math> imeti splošno obliko: : <math> J(u) = \frac{mk}{L\Gamma^{2}} u^{1-\beta^{2}} \!\, . </math> Za bolj splošne razlike od krožnosti, (če npr. v razvoju <math>J</math> v Taylorjevo vrsto ne moremo zanemariti člene višjih redov), lahko <math>\eta</math> razvijemo v [[Fourierjeva vrsta\|Fourierjevo vrsto]], na primer:

Bertrandov izrek: Razlika med redakcijama