Redakcija: 15:51, 24. april 2008 uredi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m →‎Eksponentne, logaritemske funkcije ← Starejše urejanje		Redakcija: 22:49, 24. april 2008 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj + Novejše urejanje →
Vrstica 5: Za [[aditivna konstanta\|integracijsko konstanto]] uporabljamo oznako ''C'' in jo lahko določimo, če je znana vrednost [[primitivna funkcija\|primitivne funkcije]] v neki točki. V splošnem pa je konstanta ''C'' nedoločena. === [[Potenčna funkcija\|Potence]], [[korenska funkcija\|koreni]] === : <math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ pri }n \ne -1</math> : <math>\int x^{-1}\,dx =\int\frac{dx}{x}= \ln{\left\|x\right\|} + C</math> : <math>\int\sqrt{x}\,dx=\frac 2 3 x\sqrt{x} + C \!\,</math> : <math>\int\frac {1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x} + C \!\,</math> : <math>\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C</math> : <math>\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C</math> === [[Polinom]]i, [[racionalna funkcija\|racionalne funkcije]] === : <math>\int (ax+b)\,dx=\frac{ax^{2}}{2}+bx + C \!\,</math> : <math>\int (a x^{2} + bx + c)\,dx=\frac{a}{3}x^{3}+\frac{b}{2}x^{2} + cx + C \!\,</math> : <math>\int (ax+b)^{n}\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \!\,</math> : <math>\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a} \ln\|ax+b\| + C \!\,</math> : <math>\int \frac{1}{x^2+1} \, dx = \arctan{x} + C</math> : <math>\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C \!\,</math> : <math>\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln \|f(x)\| +C</math> ===[[eksponentna funkcija\|Eksponentne]], [[logaritemska funkcija\|logaritemske funkcije]]=== : <math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> : <math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> : <math>\int x e^{x}\,dx=e^{x}(x-1) + C \!\, </math> : <math>\int\frac{dx}{e^{x}}=-\frac{1}{e^{x}} + C \!\,</math> : <math>\int\frac{x}{e^{x}}\,dx=-\frac{x+1}{e^{x}} + C \!\,</math> : <math>\int\frac{e^{x}}{x}\,dx=-\operatorname{Ei}(-x) + C \!\,</math>      Opomba: Ei = [[eksponentni integral]] : <math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math> : <math>\int \log_a x\,dx= x \log_a {x} - \frac{x}{\ln a} + C</math> === [[~~Trigonometrijska~~Trigonometrična funkcija\|~~Trigonometrijske~~Trigonometrične funkcije]] === : <math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math> Vrstica 48: : <math>\int \cos^2 x \, dx = {2x + \sin 2x \over 4} + C</math> === [[Hiperbolična funkcija\|Hiperbolične funkcije]] === : <math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math> Vrstica 59: == Določeni integrali == Obstajajo funkcije katerih ~~integrale~~primitivnih funkcij ''ne moremo'' izraziti v zaprti obliki. Vendar lahko izračunamo vrednosti določenih integralov teh funkcij v nekaterih [[interval (matematika)\|interval]]ih. Nekaj uporabnih določenih integralov je podanih spodaj. : <math>\~~int_0~~int_{0}^{\infty} { \frac{~~\sqrt{x}~~1}{e^{a x}}\,dx} = \frac{1}{2a}, \~~sqrt~~quad (a>0) \pi!\, </math> : <math>\int_0^\infty { \ln x \over e^x }\,dx = - \gamma \!\, </math>      ([[Euler-Mascheronijeva konstanta]])▼ : <math>\~~int_0~~int_{0}^{\infty} { \frac{1x^{n}}{e^{a x~~^{2}~~}}\,dx} = \frac{\Gamma(n+1)}{2a^{n+1}}, \~~sqrt~~quad (a>0, n>-1) \pi!\, </math> : <math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \Gamma (2) \zeta (2) = \frac{\pi^2}{6}</math>      Opomba: <math>\Gamma(\cdot)</math> = [[funkcija gama\|funkcija Γ]], <math>\zeta(\cdot)</math> = [[Riemannova funkcija zeta\|Riemannova funkcija ζ]] ([[baselski problem]])▼ : <math>\~~int_0~~int_{0}^{\infty} { \frac{\sqrt{x^3}}{e^{a x-1}}\,dx} = \~~Gamma (4)~~ frac{1}{2a}\~~zeta (4) =~~sqrt {\frac{\pi^4}{15a}} \!\, </math> : <math>\~~int_0~~int_{0}^{\infty} { \~~frac{~~ln x~~^{n}}{~~ \over e^{x~~}-1~~ }\,dx} = - \~~Gamma~~gamma ~~(n+1)~~= -0,5772156649\~~zeta~~ldots \!\, ~~(n+1)~~</math>      ([[Euler-Mascheronijeva konstanta]]) ▲: <math>\~~int_0~~int_{0}^{\infty} { \~~ln x \over~~ frac{1}{e^{x ^{2}}}\,dx} = -\frac{1}{2}\sqrt \~~gamma~~pi \!\, </math>      ([[~~Euler-Mascheronijeva~~Gaussov ~~konstanta~~integral]]) : <math>\int_{0}^{\infty} {\frac{1}{e^{x} \sqrt{x}}\,dx} = \sqrt{\pi} = \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \!\, </math>      ([[Eulerjev integral]]) : <math>\int_{0}^{\infty} {\frac{1}{e^{a x} \sqrt{x}}\,dx} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \!\, </math> ▲: <math>\~~int_0~~int_{0}^{\infty} {\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \Gamma (2) \zeta (2) = \frac{\pi^2}{6}</math>      Opomba: <math>\Gamma(\cdot)</math> = [[funkcija gama\|funkcija Γ]], <math>\zeta(\cdot)</math> = [[Riemannova funkcija zeta\|Riemannova funkcija ζ]] ([[baselski problem]]) : <math>\int_{0}^{\infty} {\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \Gamma (4) \zeta (4) = \frac{\pi^4}{15}</math> : <math>\int_{0}^{\infty} {\frac{x^{n}}{e^{x}-1}\,dx} = \Gamma (n+1) \zeta (n+1)</math>

Tabela integralov: Razlika med redakcijama