Legendrov simbol
Legendrov simból [ležándrov ~] je v teoriji števil simbol, ki se uporablja pri faktorizaciji in kvadratnih ostankih. Simbol je uvedel Adrien-Marie Legendre.
Definicija
urediLegendrov simbol je poseben primer Jacobijevega simbola. Odvisen je od tega ali za dve celi števili p in a velja:
- (oziroma p deli a), ali
- (oziroma a je kvadrat mod p) ali
- (oziroma a ni kvadrat mod p).
Če je p liho praštevilo in a celo število je Legendrov simbol:
Simbol se označuje tudi kot:
Značilnosti Legendrovega simbola
urediLegendrov simbol ima več uporabnih značilnosti, ki pospešijo računanje:
- (je popolnoma multiplikativna funkcija za zgornji argument)
- Če je a ≡ b (mod p), potem velja
- , oziroma = 1, če je p ≡ 1 (mod 4) in = −1, če je p ≡ 3 (mod 4)
- , oziroma = 1, če je p ≡ 1 ali 7 (mod 8) in = −1, če je p ≡ 3 ali 5 (mod 8)
- Za liho praštevilo q velja
Zadnja značilnost je znana kot kvadratni recipročnostni zakon. Značilnosti 4 in 5 sta tradicionalno znani kot dodatka h kvadratni recipročnosti. Dokazati ju je moč z Gaussovo lemo.
Legendrov simbol je povezan z Eulerjevim kriterijem. Euler je dokazal, da velja:
Legendrov simbol je tudi Dirichletov karakter.
Sorodne funkcije
urediJacobijev simbol je posplošitev Legendrovega simbola, ki dovoljuje sestavljena spodnja števila. S posplošitvijo je moč uspešno računati Legendrove simbole.
Druga posplošitev je Kroneckerjev simbol.