Harmonična funkcija
je funkcija, za katero velja, Laplaceova diferencialna enačba
. S pomočjo operatorja nabla Laplaceovo diferencialno enačbo zapišemo kot
.
Kompleksni prostor:
Če kompleksno spremenljivko z zapišemo v obliki
, lahko funkcijo kompleksne spremenljivke
zapišemo s pomočjo realnega in imaginarnega dela:
, pri čemer sta
in
realni funkciji dveh spremenljivk. Če je funkcija
analitična (odvedljiva v
in neki okolici
), zanjo veljata Cauchy-Riemannovi diferencialni enačbi
in
.
Če parcialno odvajamo prvo enakost po
, drugo pa po
in seštejemo, dobimo:
![{\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e738880f141b31b0283220e2a6914bb6fab74966)
Če parcialno odvajamo prvo enačbo po y, drugo pa po x in odštejemo, dobimo:
![{\displaystyle \Delta v={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55b69a9a2416da9f5c8e9c9759c236956464c95)
To pomeni, da za analitično funkcijo kompleksne spremenljivke velja, da sta njen realni in imaginarni del harmonični funkciji. Imenujemo ju konjugiran par harmoničnih funkcij.