Kvaternionska matrika

Kvaternionska matrika je matrika, katere elementi so kvaternioni.

Lastnosti uredi

kvaternioni tvorijo komutativni kolobar, zato lahko definiramo seštevanje in množenje kvaternionskih matrik nad katerimkoli kolobarjem.
seštevanje kvaternionskih matrik $A\,$ in $B\,$ je določeno kot običajno seštevanje matrik

(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,

množenje kvaternionskih matrik je prav tako enako kot množenje ostalih matrik

(AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,

Primer:Množenje kvaternionskih matrik

U\,

in

V\,

U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},

nam da produkt

UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22}\\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.

Za množenje velja običajen zakon asociativnosti in distributivnosti.

sled matrike je tudi za kvaternionske matrike določena kot vsota diagonalnih elementov. V splošnem pa velja

sl(AB)\neq sl(BA)\,

množenje z leve strani s skalarjem je enako

(cA)_{ij}=cA_{ij}\,

^[1]

Determinanta kvaternionske matrike uredi

Ni znan način določanja determinante kvdratne kvaternionske matrike. Vrednosti determinante so kvaternioni ^[2]. Lahko se določi tudi determinanta s kompleksno vrednostjo.

Kvaternion $a+bi+cj+dk\,$ lahko prikažemo kot kompleksno matriko

{\begin{bmatrix}~~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.

.

Uporaba uredi

Kvaternionske matrike se uporabljajo v kvantni mehaniki ^[3] in pri reševanju problema več teles ^[4].

Opombe in sklici uredi

↑ Tapp, Kristopher (2005). Matrix groups for undergraduates. AMS Bookstore. str. 11 ff. ISBN 0-8218-3785-0.
↑ Helmer Aslaksen (1966). »Quaternionic determinants«. The Mathematical Intelligencer. Zv. 18, št. 3. str. 57–65. doi:10.1007/BF03024312.
↑ N. Rösch (1983). »Time-reversal symmetry, Kramers' degeneracy and the algebraic eigenvalue problem«. Chemical Physics. Zv. 80, št. 1–2. str. 1–5. doi:10.1016/0301-0104(83)85163-5.
↑ Klaus Gürlebeck; Wolfgang Sprössig (1997). »Quaternionic matrices«. Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers. Wiley. str. 32–34. ISBN 978-0-471-96200-7.

Glej tudi uredi

seznam vrst matrik

Zunanje povezave uredi

Determinanta kvaternionske matrike^{[mrtva povezava]} (angleško)

[1] Tapp, Kristopher (2005). Matrix groups for undergraduates. AMS Bookstore. str. 11 ff. ISBN 0-8218-3785-0.

[2] Helmer Aslaksen (1966). »Quaternionic determinants«. The Mathematical Intelligencer. Zv. 18, št. 3. str. 57–65. doi:10.1007/BF03024312.

[3] N. Rösch (1983). »Time-reversal symmetry, Kramers' degeneracy and the algebraic eigenvalue problem«. Chemical Physics. Zv. 80, št. 1–2. str. 1–5. doi:10.1016/0301-0104(83)85163-5.

[4] Klaus Gürlebeck; Wolfgang Sprössig (1997). »Quaternionic matrices«. Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers. Wiley. str. 32–34. ISBN 978-0-471-96200-7.

[1]

[2]

[3]

[4]