Sled matrike

Sled matrike (oznaka v angleških besedilih $\mathrm {Tr} (\dots )\,$ ali $\mathrm {tr} (\dots )\,$ , v nemških besedilih $\mathrm {Sp} (\dots )\,$ ali $\mathrm {Spur} (\dots )\,$ , v slovenščini se uporablja $\mathrm {sl} (\dots )\,$ ) je v linearni algebri za kvadratno matriko $A\,$ , ki ima razsežnost $n\times n\,$ določena kot vsota elementov na diagonali matrike:

\mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\!\,,

kjer je

$a_{ij}\,$ element matrike v i-ti vrstici in j-tem stolpcu
$A\,$ je matrika

Vidi se, da je sled vsota lastnih vrednosti, ki je zaradi tega invariantna glede na spremembo baze. Sled je linearna transformacija.

Značilnosti uredi

Za vse kvadratne matrike $A\,$ in $B\,$ velja:

\mathrm {tr} (A+B)=\mathrm {tr} (A)+\mathrm {tr} (B)\!\,.

Če pa je $c\,$ skalar, velja tudi:

\mathrm {tr} (cA)=c\cdot \mathrm {tr} (A)\!\,.

Kadar pa je $A\,$ matrika $m\times n\,$

$\mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \mathop {\rm {tr}} \;B$ (linearnost)

$\mathop {\rm {tr}} \;(ABC)=\mathop {\rm {tr}} \;(BCA)=\mathop {\rm {tr}} \;(CAB)$ (cikličnost)

oziroma

\mathrm {tr} (ABC)\neq \mathrm {tr} (ACB)\!\,.

Iz tega sledi:

\mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;(A)\

$\mathop {\rm {tr}} \;(A)=\mathop {\rm {tr}} \;(A^{T})\,$ kjer je s T označena transponirana matrika

$\ln \det(A)=\mathop {\rm {tr}} \;(\ln A)\,$

če je $A\otimes B$ tenzorski produkt matrik $A\,$ in $B\,$ , potem je $\mathop {\rm {tr}} \;(A\otimes B)=\mathop {\rm {tr}} \;(A)\mathop {\rm {tr}} \;(B)$