Vereščaginovo pravilo

Vereščaginovo pravilo je način za enostaven izračun vrednosti določenega integrala produkta dveh funkcij. Pravilo je leta 1925 opisal ruski inženir Andrej Konstantinovič Vereščagin.^[1]

Opredelitev

Pravilo pravi, da za pridobitev numerične vrednosti določenega integrala produkta dveh funkcij zadošča, če površino, ki jo opisuje določeni integral prve funkcije, pomnožimo z ordinato težišča figure druge funkcije ( $g(x)$ ). Obe funkciji morata biti gladko zvezni, funkcija $g(x)$ pa mora biti linearna. Definicija temelji na Mohrovem integralu.

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=A_{f(a,b)}\cdot g_{t}$

V formuli $f(x)$ in $g(x)$ označujeta dve pomnoženi funkciji, $A_{f(a,b)}$ je območje določenega integrala funkcije $f(x)$ na intervalu $(a,b)$ in $g_{t}$ je ordinata funkcije v težišču območja določenega integrala funkcije $g(x)$ na istem intervalu.

Aplikacija

Najpogostejša uporaba Vereščaginovega pravila je izračun poteka upogibnega momenta na statično nedoločeni konstrukciji z metodo sil (Maxwell-Mohrova metoda). Za ta izračun se formula spremeni na naslednji način:

$\int _{0}^{l}M{\overline {M}}\,\mathrm {d} x=A_{M}\cdot {\overline {M_{t}}}$

$M$ označuje potek momenta na osnovni statično določeni konstrukciji, ${\overline {M}}$ je potek virtualnega momenta (vedno linearnega ali konstantnega), $l$ je dolžina integracije (običajno dolžina nosilca).

Primeri uporabe

Za integracijo enako orientiranih trikotnikov velja:

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{3}}$
Za integracijo nasprotno orientiranih trikotnikov velja:

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{6}}$
Za integracijo dveh trapezov velja: $\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}[a(2c+d)+b(2d+c)]$
Za integracijo pravokotnika in trikotnika velja: $\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{2}}$
Za integracijo trapeza in trikotnika velja: $\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}a(2c+d)$