Težiščni koordinatni sistem

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

DefinicijaUredi

Naj bodo   oglišča simpleksa v vektorskem prostoru  

in, če za neko točko   v   velja

  in najmanj eden izmed   ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti   težiščne koordinate točke   glede na  .

Oglišča imajo koordinate  .

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak  , ki ni enak nič, so tudi   težiščne koordinate za  . Kadar koordinate niso negativne, točka   leži v konveksni ogrinjači za  , to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotnikuUredi

 
Težiščne koordinate   nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik  , ki je določen s tremi oglišči  ,   in  . Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

 

kjer so

  •   težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

 .

Pretvorba v težiščne koordinateUredi

Imamo dano točko   (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate   v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah   z uporabo oglišč   kot

 .

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo

 

kjer je

  •   je vektor težiščnih koordinat
  •   vektor v kartezičnih koordinatah
  •   matrika, ki ima vrednost
 .

Ker sta   in   linearno neodvisna, je matrika   obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo

 .

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

 
 
 .

Težiščne koordinate v tetraedruUredi

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate  .

Tudi tukaj velja

 

kjer je

  •   matrika  , ki ima obliko
 

Posplošeni težiščni koordinatni sistemUredi

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

 

kjer so   oglišča politopa.

Zunanje povezaveUredi