Sinus versus

Sinus versus (tudi versinus ali obrnjeni sinus) (oznaka $\operatorname {versine} z\,$ ali $\operatorname {vers} z$) je danes redko uporabljana trigonometrična funkcija, ki je povezana z danes bolj znanimi trigonometričnimi funkcijami na naslednji način:

Trigonometrično funkcijo versin lahko prikažemo geometrijsko z enotskim krogom, ki ima središče v O.

$\operatorname {versin} (\theta )=1-\cos(\theta )=2\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right).$

Grafična oblika versinusa je enaka kosinusoidi, ki je premaknjena za 1 navzgor. Funkcija je povsod definirana. Ničle ima funkcija v točkah $(2k\pi ,{\text{ }}0)$. Minimumi so tam kjer so ničle. Maksimumi pa so v točkah $((2k+1)\pi ,{\text{ }}2)$.

Definicije

V nadaljevanju so naštete vse obrnjene trigonometrične funkcije in njihove povezave z običajnimi (pogosteje uporabljanimi) funkcijami:

${\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$
${\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,$
${\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$
${\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$
${\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$
${\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$

Iz pregleda se vidi, da je znanih več obrnjenih trigonometričnih funkcij

• kosinus versus ali vercosine, ki ga označujemo z $\operatorname {vercosin} (\theta )$
• koversinus, kiga označujemo z $\operatorname {coversin} (\theta )$ včasih okrajšamo v $\operatorname {cvs} (\theta )$
• koverkosinus, ki ga označujemo z $\operatorname {covercosin} (\theta )$
• haversinus, ki ga označujemo z $\operatorname {haversin} (\theta )$ najbolj znan haversinski obrazec, ki se je nekdaj uporabljal v navigaciji
• haverkosinus ali haverkosinus z oznako $\operatorname {havercosin} (\theta )$
• hacoversinus ali hakoversinus ali kohaversinus, ki ga označujemo z $\operatorname {hacoversin} (\theta )$
• hakoverzni kosinus ali hakoverkosinus ali kohaverkosinus z oznako $\operatorname {hacovercosin} (\theta )$
• ekssekanta, ki jo označujemo z $\operatorname {exsec} (\theta )$
• ekskosekanta z oznako $\operatorname {excosec} (\theta )$

Povezave s trigonometričnimi funkcijami

Trigonometrični funkciji, ki jo označimo z fun, pripadajo sledeče povezave

${\begin{aligned}\operatorname {verfun} (\theta )&:=&2\left(\operatorname {fun} \!\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\\\operatorname {cofun} (\theta )&:=&\operatorname {fun} \!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\\operatorname {hafun} (\theta )&:=&{\frac {\operatorname {fun} (\theta )}{2}}\\\operatorname {exfun} (\theta )&:=&\operatorname {fun} (\theta )-1\\\end{aligned}}$.

Odvodi in integrali

${\frac {d}{dx}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}$	$\int \mathrm {versin} (x)\,dx=x-\sin {x}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}$	$\int \mathrm {vercosin} (x)\,dx=x+\sin {x}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}$	$\int \mathrm {coversin} (x)\,dx=x+\cos {x}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}$	$\int \mathrm {covercosin} (x)\,dx=x-\cos {x}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {haversin} (x)\,dx={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {havercosin} (x)\,dx={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacoversin} (x)\,dx={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C$
${\frac {d}{dx}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacovercosin} (x)\,dx={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C$

Glej tudi

• eksekanta
• kosinus versus

Zunanje povezave

• Versina na MathWorld (angleško)
• Haversina na MathWorld (angleško)