Seznam fraktalov po Hausdorff-Bezikovičevi razsežnosti

seznam Wikimedije

Fraktal je geometrijski objekt, katerega Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost (δ) strogo presega svojo topološko razsežnost.[1] Tu je predstavljeno nekaj fraktalov, razvrščenih po naraščajoči Hausdorff-Bezikovičevi razsežnosti z namenom ponazoritve kaj pomeni da ima fraktal majhno ali veliko razsežnost.

Deterministični fraktaliUredi

δ
(točna vrednost)
δ
(vrednost)
ime prikaz opombe
  0.4498? bifurkacije logistične preslikave   V bifurkacijskem grafu se pri približevanju kaotičnega področja pojavijo zaporedne podvojitve period, kjer geometrično zaporedje teži k 1/δ. (δ=4,6692, prva Feigenbaumova konstanta).
  0.6309 Cantorjeva množica   Ustvarjena z odstranjevanjem tretjine v vsaki ponovitvi. Nikjer gosta in neštevna množica.
  0.88137 spekter Fibonaccijevega hamiltonskega sistema Spekter konvergira k eksplicitni konstanti.[2]
  1 Smith-Volterra-Cantorjeva množica   Ustvarjena z odstranitvijo sredinskega intervala dolžine 1/2^{2n} za vsak preostal interval n-te ponovitve. Nikjer gosta množica, a z Lebesguovo mero ½.
  1.0686 obris Gosperjevega otoka  
izmerjeno (škatlično štetje) 1.2 vejasta Juliajeva množica   Juliajeva množica s parametroma: Realni del=0 in Imaginarni del=1.
  1.2083 Fibonaccijev fraktal 60°   Ustvarjena iz Fibonaccijeve besede. Glej tudi standardni Fibonaccijev fraktal.
1.26 Hénonova preslikava   Kanonična Hénonova preslikava s parametroma a = 1,4 in b = 0,3 ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 1,261 ± 0,003. Različni parametri dajo različne vrednosti δ.
  1.2619 Kochova krivulja   Tri von Kochove krivulje tvorijo Kochovo snežinko, oziroma antisnežinko.
  1.2619 obris trojne zmajeve krivulje   L-sistem: enak kot zmajeva krivulja s kotom =30°. The Fudgeflake (zmečkana snežinka) temelji na 3 začetnih točkah, postavljenih v trikotnik.
  1.2619 dvorazsežni Cantorjev prah   Dvorazsežna Cantorjeva množica.
izračunano 1.2683 Juliajeva množica z²-1   Juliajeva množica za c=-1. [3]
1.3057 Apolonijeva mreža   Tudi »Apolonijevo tesnilo«.
izračunano 1.3934 Douadyjev zajec   Juliajeva množica za c=-0,123+0.745i. [4]
  1.4649 škatelni fraktal   Ustvarjena z izmenjajočim ponavljanjem kvadratov križa iz petih kvadrat(k)ov.
  1.4649 kvadratna Kochova krivulja (tip 1)   Vzorec škatelnega fraktala (zgoraj).
  1.5000 kvadratna Kochova krivulja (tip 2)   Imenovana tudi »klobasa Minkovskega«.
1.5236 obris zmajeve krivulje   Cf Chang & Zhang.[5]
  1.5850 trovejno drevo    Vsaka veja drži 3 veje. (tukaj 90° in 60°). Razsežnost fraktala celotnega drevesa je fraktalna razsežnost zadnje veje. Toda: drevo z dvema vejama ima fraktalno razsežnost 1.
  1.5850 trikotnik Sierpinskega   Tudi Pascalov trikotnik modulo 2.
  1.5850 puščična krivulja Sierpinskega   Ustvarjena z enorazsežno krivuljo.
  1.6309 Pascalov trikotnik modulo 3   Za trikotnik modulo k, kjer je k praštevilo, je fraktalna razsežnost  (Cf Stephen Wolfram[6])
  1.6379 Fibonaccijev fraktal   Fraktal iz Fibonaccijeve besede (OEIS A005614). Ilustracija: fraktal po F23 (28657) korakih. [7].
  1.6826 Pascalov trikotnik modulo 5   Za trikotnik modulo k, kjer je k praštevilo, je fraktalna razsežnost   (Cf Stephen Wolfram[6])
  1.7227 vetrnični fraktal   Grajen na podlagi Conway-Radinovega vetrničnega pokritja.
  1.7712 snežinka šestkotnikov   Ustvarjena z izmenjujočim ponavljanjem 7 šestkotnikov. Njena meja je Kochova snežinka. Vsebuje neskončno Kochovih snežink.
log(7) / log(3) 1.7712 Fractal H-I de Rivera
  1.7848 Kochova krivulja 85°, Cesarejev fraktal   Izhaja iz Kochove krivulje s kotom med 0 in 90°. Fraktalna razsežnost:  . Cesarejev fraktal izhaja iz tega vzorca.
  1.8617 snežinka petkotnikov   Ustvarjena z izmenjujočim ponavljanjem 6 petkotnikov.   = zlati rez =  
  1.8928 preproga Sierpinskega  
  1.8928 trirazsežni Cantorjev prah   Trorazsežna Cantorjeva množica.
  1,8928 kartezični produkt Kochove krivulje in Cantorjeve množice   Posplošitev: Naj je F×G kartezični produkt dve fraktalnih množic F ind G. Potem velja  .[1]. Glej tudi dvorazsežni Cantorjev prah in Cantorjeva kocka.
ocenjeno 1.9340 obris Lévyjeve C-krivulje   Ocena Duvalla in Keeslinga (1999). Krivulja ima fraktalno razsežnost 2.
1.974 Penroseovo pokritje   See Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[8]
  2 Mandelbrotova množica   Vsaka ravnina predmeta, ki vsebuje disk, ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2. Toda tudi meja Mandelbrotove množice ima tudi Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2.
  2 Juliajeva množica   za določene vrednosti c (vključno s c na meji Mandelbrotove množice), ima Juliajeva množica fraktalno razsežnosz 2. [9].
  2 krivulja Sierpinskega   Vsaka Peanova krivulja, ki zapolni ravnino, ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2.
  2 Hilbertova krivulja   Na podoben način: Moorova krivulja. Se lahko razširi v tri razsežnosti.
  2 Peanova krivulja   Družina krivulj, ustvarjeni na podoben način, kot npr. Wunderlichove krivulje.
  2 Moorova krivulja   Se lahko razširi v tri razsežnosti.
2 Lebesguova krivulja ali krivulja reda z   Drugače kot prejšnje je ta krivulja, ki lahko zapolni prostor, odvedljiva praktično povsod. Prav tak tip krivulje lahko določimo v dveh razsežnostih. Kot Hilbertova krivulja se lahko razširi v tri razsežnosti.[10]
  2 zmajeva krivulja   Njene meje imajo fraktalno razsežnost 1.5236.
2 trojna zmajeva krivulja   L-System: F-> F+F-F. kot=120°.
  2 T-kvadrat  
  2 Gosperjeva krivulja   Njena meja je Gosperjev otok.
  2 tetraeder Sierpinskega   Vsak tetraeder nadomestimo s 4 tetraedri.
  2 H-drevo   Tudi »H-fraktal« in »Mandelbrotovo drevo«, ki ima enak vzorec.
  2 Pitagorovo drevo   Vsak kvadrat generira 2 kvadrata, pomanjšana za faktor  .
  2 dvorazsežni grški križ   Vsak del nadomestimo s kržem iz 4 delov.
2.06 Lorenzev atraktor   Za točne vrednosti parametrov.
  2.3296 dodekaederski fraktal   Vsak dodekakeder (dvanajsterec, pravilno telo, ki ga omejuje 12 pravilnih peterokotnikov) nadomestimo z 20 dodekaedri.
  2.3347 trirazsežna kvadradna Kochova ploskev (tipa 1)   Razširitev kvadratne Kochove krivulje tipa 1 v tri razsežnosti. Slika prikazuje drugo ponovitev.
2.4739 Apollonijevo pakiranje krogel   The interstice left by the apollolian spheres. Apollonian gasket in 3D. Dimension calculated by M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert.[11]
  2.50 trirazsežna Kochova ploskev (tipa 2)   Razširitev kvadratne Kochove krivulje (tipa 2) v tri razsežnosti. Slika prikazuje prvo ponovitev.
  2.5237 Cantorjev teserakt Cantorejeva množica v štirih razsežnostih. Posplošitev: v prostoru z razsežnostjo n, ima Cantorjeva množica Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost  
  2.5819 ikozaedrski fraktal   Vsak ikozaeder nadomestimo z 12 ikozaedri.
  2.5849 trirazsežni grški križ   Each segment is replaced by a cross formed by 6 segments.
  2.5849 oktaedrski fraktal   Vsak oktaeder nadomestimo s 6 oktaedri.
  2.5849 Kochova ploskev   vsak enakostranični trikotnik zamenjamo s 6 dvakrat manjšimi trikotniki.
  2.7268 Mengerjeva spužva   Njena površina ima fraktalno razsežnost  .
  3 trirazsežna Hilbertova krivulja   Hilbertova krivulja razširjena v tri razsežnosti.
  3 trirazsežna Lebesguova krivulja   Lebesguova krivulja razširjena v tri razsežnosti.
  3 trirazsežna Moorova krivulja   Moorova krivulja razširjena v tri razsežnosti.

Naključni in naravni fraktaliUredi

δ
(točna vrednost)
δ
(vrednost)
ime prikaz opombe
izmerjeno 1.22 ± 0.02 obris obale Irske   Vrednosti fraktalne razsežnosti celotne irske obale so določili McCartney, Abernethy in Gault[12] na Univerzi Ulstra in študentje teoretične fizike na Kolidžu Trinity v Dublinu pod vodstvom S. Hutzlerja.[13] Med neravno zahodno obalo (fraktalna razsežnost je približno 1,26) in veliko gladkejšo vzhodno obalo (fraktalna razsežnost je 1,10) je precejšnja razlika.[13]
izmerjeno 1.24 obris obale Velike Britanije  
  1.33 obris Brownovega gibanja   (Cf Wendelin Werner).[14]
  1.33 dvorazsežni polimer Similar to the brownian motion in 2D with non self-intersection.[15]
  1.33 Percolation front in 2D, Corrosion front in 2D   Fractal dimension of the percolation-by-invasion front, at the percolation threshold (59.3%). It’s also the fractal dimension of a stopped corrosion front.[15]
1.40 Clusters of clusters 2D When limited by diffusion, clusters combine progressively to a unique cluster of dimension 1.4.[15]
izmerjeno 1.52 obris obale Norveške  
izmerjeno 1.55 naključni sprehod brez sekanj   Self-avoiding random walk in a square lattice, with a « go-back » routine for avoiding dead ends.
  1.66 trirazsežni polimer Similar to the brownian motion in a cubic lattice, but without self-intersection.[15]
1.70 2D DLA Cluster   In 2 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 1.70.[15]
  1.8958 2D Percolation cluster   Under the percolation threshold (59.3%) the percolation-by-invasion cluster has a fractal dimension of 91/48.[15][16] Beyond that threshold, le cluster is infinite and 91/48 becomes the fractal dimension of the « clearings ».
  2 Brownovo gibanje   Or random walk. The Hausdorff dimensions equals 2 in 2D, in 3D and in all greater dimensions (K.Falconer "The geometry of fractal sets").
izmerjeno približno 2 porazdelitev galaktičnih jat   Iz rezultatov pregleda SDSS leta 2005.[17]
  2.33 površina cvetače   Every branch carries around 13 branches 3 times smaller.
2.5 klobčiči zmečkanega papirja   When crumpling sheets of different sizes but made of the same type of paper and with the same aspect ratio (for example, different sizes in the ISO 216 A series), then the diameter of the balls so obtained elevated to a non-integer exponent between 2 and 3 will be approximately proportional to the area of the sheets from which the balls have been made. [1] Creases will form at all size scales (see Universality (dynamical systems)).
2.50 Lichtenbergova figura   In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50.[15]
  2.5 pravilna Brownova ploskev   [1].
2.50 3D DLA Cluster In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50.[15]
izmerjeno 2.52 trirazsežni ponikalni oblak   [16]
izmerjeno 2.66 brstnati ohrovt   [18]
2.79 površina skorje človeških možgan   [19]
2.97 površina človeških pljuč   The alveoli of a lung form a fractal surface close to 3.[15]
izračunano 3 kvantna struna, ki se kopiči naključno   Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost kvantne strune, katere reprezentativna točka se naključno kopičiti skozi zančni prostor.[20]

Opombe in skliciUredi

  1. 1,0 1,1 1,2 Falconer (2003).
  2. Fractal dimension of the spectrum of the Fibonacci Hamiltonian
  3. fractal dimension of the z²-1 Julia set
  4. fractal dimension of the Douady rabbit
  5. Fractal dimension of the boundary of the dragon fractal
  6. 6,0 6,1 Fractal dimension of the Pascal triangle modulo k
  7. Fibonacci word or rabbit sequence Sloane A005614 at the EOIS
  8. Fractal dimension of a penrose tiling
  9. Fractal dimension of certain Julia sets
  10. Lebesgue curve variants
  11. Fractal dimension of the apollonian sphere packing
  12. McCartney; Abernethy; Gault (2010).
  13. 13,0 13,1 Hutzler (2013).
  14. Fractal dimension of the brownian motion boundary
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,6 15,7 15,8 Sapoval (2001).
  16. 16,0 16,1 "Applications of percolation" theory by Muhammad Sahimi (1994)
  17. "Basic properties of galaxy clustering in the light of recent results from the Sloan Digital Sky Survey" (PDF) (angleščina).
  18. Fractal dimension of the broccoli
  19. Fractal dimension of the surface of the human brain
  20. The Hausdorf dimension of a quantum string

ViriUredi

Glej tudiUredi

Zunanje povezaveUredi