Definicija
uredi
Riemannovo izvirno funkcijo hi (označeno z malo črko ξ) je Edmund Landau poimenoval v funkcijo Hi (označeno z veliko črko Ξ). Landauova funkcija ξ(s ) je definirana kot:[1]
ξ
(
s
)
=
1
2
s
(
s
−
1
)
π
−
s
/
2
Γ
(
1
2
s
)
ζ
(
s
)
,
(
s
∈
C
)
.
{\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s),\qquad (s\in \mathbb {C} )\!\,.}
Tukaj je ζ(s ) Riemannova funkcija zeta, Γ(s ) pa funkcija Γ . Funkcijska enačba (ali posebej refleksijska formula ) za funkcijo ξ je:
ξ
(
1
−
s
)
=
ξ
(
s
)
.
{\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)\!\,.}
Funkcija Ξ je po Landau definirana kot:[2]
Ξ
(
z
)
=
ξ
(
1
2
+
z
i
)
{\displaystyle \Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)\!\,}
in zanjo velja funkcijska enačba:
Ξ
(
−
z
)
=
Ξ
(
z
)
.
{\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)\!\,.}
Kot je poročal Landau,[3]
Značilnosti
uredi
Posebne vrednosti Riemannove funkcije ξ
uredi
Splošna oblika za soda pozitivna cela števila je:
ξ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
1
(
2
n
)
!
B
2
n
2
2
n
−
1
π
n
(
2
n
2
−
n
)
(
n
−
1
)
!
,
{\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!\!\,,}
kjer je Bn n -to Bernoullijevo število .
ξ
(
−
3
)
=
π
2
15
=
0
,
657973626739
…
,
{\displaystyle \xi (-3)={\frac {\pi ^{2}}{15}}=0,657973626739\ldots \!\,,}
OEIS A182448
ξ
(
−
1
)
=
π
6
=
0
,
523598775598
…
,
{\displaystyle \xi (-1)={\frac {\pi }{6}}=0,523598775598\ldots \!\,,}
OEIS A019673
ξ
(
0
)
=
1
2
=
0
,
5
.
{\displaystyle \xi (0)={\frac {1}{2}}=0,5\!\,.}
ξ
(
1
/
2
)
=
−
1
8
π
1
/
4
Γ
(
1
/
4
)
ζ
(
1
/
2
)
=
0
,
497120778188
…
,
{\displaystyle \xi (1/2)=-{\frac {1}{8\pi ^{1/4}}}\Gamma (1/4)\zeta (1/2)=0,497120778188\ldots \!\,,}
OEIS A114720
ξ
(
1
)
=
ξ
(
0
)
.
{\displaystyle \xi (1)=\xi (0)\!\,.}
ξ
(
3
/
2
)
=
3
8
π
3
/
4
Γ
(
3
/
4
)
ζ
(
3
/
2
)
=
0
,
508731038726
…
.
{\displaystyle \xi (3/2)={\frac {3}{8\pi ^{3/4}}}\Gamma (3/4)\zeta (3/2)=0,508731038726\ldots \!\,.}
ξ
(
2
)
=
ξ
(
−
1
)
.
{\displaystyle \xi (2)=\xi (-1)\!\,.}
ξ
(
5
/
2
)
=
15
8
π
5
/
4
Γ
(
5
/
4
)
ζ
(
5
/
2
)
=
0
,
545094207012
…
.
{\displaystyle \xi (5/2)={\frac {15}{8\pi ^{5/4}}}\Gamma (5/4)\zeta (5/2)=0,545094207012\ldots \!\,.}
ξ
(
3
)
=
ξ
(
−
2
)
=
3
ζ
(
3
)
2
π
=
0
,
573939894046
…
.
{\displaystyle \xi (3)=\xi (-2)={\frac {3\zeta (3)}{2\pi }}=0,573939894046\ldots \!\,.}
ξ
(
7
/
2
)
=
35
8
π
7
/
4
Γ
(
7
/
4
)
ζ
(
7
/
2
)
=
0.611128007495
…
.
{\displaystyle \xi (7/2)={\frac {35}{8\pi ^{7/4}}}\Gamma (7/4)\zeta (7/2)=0.611128007495\ldots \!\,.}
ξ
(
4
)
=
ξ
(
−
3
)
.
{\displaystyle \xi (4)=\xi (-3)\!\,.}
ξ
(
5
)
=
ξ
(
−
4
)
=
15
ζ
(
5
)
2
π
2
=
0
,
787970606270
…
.
{\displaystyle \xi (5)=\xi (-4)={\frac {15\zeta (5)}{2\pi ^{2}}}=0,787970606270\ldots \!\,.}
ξ
(
6
)
=
ξ
(
−
5
)
=
2
π
3
63
=
0
,
984326243819
…
.
{\displaystyle \xi (6)=\xi (-5)={\frac {2\pi ^{3}}{63}}=0,984326243819\ldots \!\,.}
ξ
(
7
)
=
ξ
(
−
6
)
=
315
ζ
(
7
)
8
π
3
=
1
,
280506950456
…
.
{\displaystyle \xi (7)=\xi (-6)={\frac {315\zeta (7)}{8\pi ^{3}}}=1,280506950456\ldots \!\,.}
Izrazi z vrstami
uredi
Funkcijo
ξ
{\displaystyle \xi }
vrsto :
d
d
z
ln
ξ
(
−
z
1
−
z
)
=
∑
n
=
0
∞
λ
n
+
1
z
n
,
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}\!\,,}
kjer je logaritemski odvod :
λ
n
=
1
(
n
−
1
)
!
d
n
d
s
n
[
s
n
−
1
ln
ξ
(
s
)
]
|
s
=
1
.
{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\left[s^{n-1}\ln \xi (s)\right]\right|_{s=1}\!\,.}
Ta razvoj je še posebej pomemben pri Li-Keiperjevem kriteriju , po katerem je Riemannova domneva enakovredna dejstvu, da so vse vrednosti členov zaporedja λn n . Števila
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}\,}
[4] [5]
λ
n
=
∑
ρ
[
1
−
(
1
−
1
ρ
)
n
]
,
{\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\!\,,}
kjer vsota poteka po ρ, netrivialnih ničlah Riemannove funkcije ζ po vrsti
|
ℑ
(
ρ
)
|
{\displaystyle |\Im (\rho )|}
pogojno konvergentno vsoto je treba razumeti v smislu, ki se po navadi rabi v teoriji števil , tako da velja limita:
∑
ρ
=
lim
N
→
∞
∑
|
ℑ
(
ρ
)
|
≤
N
.
{\displaystyle \sum _{\rho }=\lim _{N\to \infty }\sum _{|\Im (\rho )|\leq N}\!\,.}
Posebej je znana vrednost:[4]
λ
1
=
−
ln
π
2
+
γ
2
+
1
−
ln
2
=
0
,
023095708966
…
,
{\displaystyle \lambda _{1}=-{\frac {\ln \pi }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}+1-\ln 2=0,023095708966\ldots \!\,,}
OEIS A074760 kjer je γ Euler-Mascheronijeva konstanta .
Bombieri in Lagarias sta pokazala, da Li-Keiperjev kriterij sledi iz Weilovega kriterija za posplošeno Riemannovo domnevo .
Hadamardov produkt
uredi
Razvoj z enostavnim neskončnim produktom je:
ξ
(
s
)
=
ξ
(
0
)
∏
ρ
(
1
−
s
ρ
)
,
{\displaystyle \xi (s)=\xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\!\,,}
kjer ρ teče po korenih enačbe
ξ
(
ρ
)
=
0
{\displaystyle \xi (\rho )=0\,}
Hadamard pa je leta 1893 podal strogi dokaz zanj.
Za zagotovitev konvergence je treba produkt računati z » ujemajočimi pari« ničel, kar pomeni, da je treba združevati faktorje za par ničel oblike ρ in 1 − ρ.
Arias de Reyna, Juan (31. januar 2011), Asymptotics of Keiper-Li Coefficients (PDF) Coffey, Mark W. (Junij 2007), »The theta-Laguerre calculus formulation of the Li/Keiper constants«, Journal of Approximation Theory 146 (2): 267–275, doi :10.1016/j.jat.2006.10.006 Keiper, Jerry B. (1992), »Power series expansions of Riemann ζ-function«, Math. Comp. 58 (198): 765–773, Bibcode :1992MaCom..58..765K , doi :10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 Landau, Edmund (1974) [1909], Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (3. izd.), New York: Teubner
Zunanje povezave
uredi
![{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\left[s^{n-1}\ln \xi (s)\right]\right|_{s=1}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1a91fadcdf41cd2408b90e2b0ca985503c636e)
![{\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd599c79318f36fabb49c6e82db34f724f543742)
