Méšani prodúkt (tudi psévdoskalárni prodúkt ) je v linearni algebri računska operacija , ki trem trirazsežnim vektorjem priredi število po pravilu:
Paralelepiped, ki ga določajo trije vektorji
(
a
→
,
b
→
,
c
→
)
=
a
→
⋅
(
b
→
×
c
→
)
.
{\displaystyle ({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})={\vec {\mathbf {a} }}\cdot ({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {c} }})\!\,.}
Kot vidimo, je mešani produkt sestavljen iz skalarnega in vektorskega produkta - zato tudi ime mešani produkt. Vrstni red faktorjev je pomemben: če vektorje zamenjamo ciklično, to na rezultat ne vpliva, če jih zamenjamo aciklično, pa se spremeni predznak .
(
a
→
,
b
→
,
c
→
)
=
a
→
⋅
(
b
→
×
c
→
)
=
b
→
⋅
(
c
→
×
a
→
)
=
c
→
⋅
(
a
→
×
b
→
)
,
{\displaystyle ({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})={\vec {\mathbf {a} }}\cdot ({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {c} }})={\vec {\mathbf {b} }}\cdot ({\vec {\mathbf {c} }}\times {\vec {\mathbf {a} }})={\vec {\mathbf {c} }}\cdot ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})\!\,,}
(
a
→
,
b
→
,
c
→
)
=
−
a
→
⋅
(
c
→
×
b
→
)
=
−
b
→
⋅
(
a
→
×
c
→
)
=
−
c
→
⋅
(
b
→
×
a
→
)
.
{\displaystyle ({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})=-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot ({\vec {\mathbf {c} }}\times {\vec {\mathbf {b} }})=-{\vec {\mathbf {b} }}\cdot ({\vec {\mathbf {a} }}\times {\vec {\mathbf {c} }})=-{\vec {\mathbf {c} }}\cdot ({\vec {\mathbf {b} }}\times {\vec {\mathbf {a} }})\!\,.}
Absolutna vrednost mešanega produkta je enaka prostornini paralelepipeda , ki ga določajo dani vektorji (paralelepiped je poševna štiristrana prizma ). Mešani produkt je enak 0 , če in samo če so dani vektorji komplanarni (ležijo na isti ravnini):
(
a
→
,
b
→
,
c
→
)
=
0
.
{\displaystyle ({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})=0\!\,.}
Prostornino tristrane piramide z oglišči A , B , C in D lahko izračunamo po formuli:
V
=
1
6
|
(
A
B
→
,
A
C
→
,
A
D
→
)
|
.
{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}})\right|\!\,.}
Mešani produkt je homogen in distributiven v vsakem faktorju:
n
(
a
→
,
b
→
,
c
→
)
=
(
n
a
→
,
b
→
,
c
→
)
.
{\displaystyle n\,({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})=(n\,{\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})\!\,.}
(
a
→
,
b
→
,
c
→
+
d
→
)
=
(
a
→
,
b
→
,
c
→
)
+
(
a
→
,
b
→
,
d
→
)
.
{\displaystyle ({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }}+{\vec {\mathbf {d} }})=({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {c} }})+({\vec {\mathbf {a} }},{\vec {\mathbf {b} }},{\vec {\mathbf {d} }})\!\,.}
