Wilsonovo praštevilo

Wilsonovo praštevilo, poimenovano po angleškem matematiku Johnu Wilsonu, je vsako praštevilo p, da p² deli (p − 1)! + 1, kjer označuje »!« faktorialno funkcijo. Ime in zaporedje izhajata iz Wilsonovega izreka, ki pravi, da vsako praštevilo p deli (p − 1)! + 1.

Wilsonovo praštevilo

Poimenovano po	John Wilson
Leto izdaje	1938
Avtor izdaje	Emma Lehmer
Št. znanih členov	3
Prvi členi	5, 13, 563
Največji znan člen	563
Indeks OEIS	A007540 Wilsonova praštevila: praštevila p, da velja (p-1)! == -1 (mod p^2)

Edina znana Wilsonova praštevila so 5, 13 in 563 (OEIS A007540). Znano je tudi, da če obstajajo še kakšna druga Wilsonova praštevila, morajo biti večja od 2×10^{7001130000000000000♠13}. Domneva se, da obstaja neskončno mnogo Wilsonovih praštevil, število takšnih praštevil na intervalu [x, y], pa je približno log(log(y)/log(x)).

Izvedlo se je več računalniških iskanj Wilsonovih praštevil. Ibercivisovo porazdeljeno izračunavanje vključuje iskanje Wilsonovih praštevil. Drugo iskanje upravlja forum Veliko spletno iskanje Mersennovih praštevil.

Posplošitve

Wilsonova praštevila reda n

Wilsonov izrek se lahko v splošnem izrazu $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ za vsako celo število $n\geq 1$ in praštevilo $p\geq n$. Posplošena Wilsonova praštevila reda n so praštevila p, da $p^{2}$ deli $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$.

Domnevano je, da obstaja za vsako naravno število n neskončno mnogo Wilsonovih praštevil reda n.

$n$	praštevilo $p$, da $p^{2}$ deli $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ (preverjeno do 1000000)	Zaporedje OEIS
1	5, 13, 563, ...	A007540
2	2, 3, 11, 107, 4931, ...	A079853
3	7, ...
4	10429, ...
5	5, 7, 47, ...
6	11, ...
7	17, ...
8	...
9	541, ...
10	11, 1109, ...
11	17, 2713, ...
12	...
13	13, ...
14	...
15	349, 41341, ...
16	31, ...
17	61, 251, 479, ...	A152413
18	13151527, ...
19	71, 621629, ...
20	59, 499, 43223, 214009, ...
21	217369, ...
22	...
23	...
24	47, 3163, ...
25	...
26	97579, ...
27	53, ...
28	347, 739399, ...
29	...
30	137, 1109, 5179, ...

Najmanj posplošena Wilsonova praštevila reda n so:

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (Naslednji člen > 1.4×10⁷) (OEIS A128666)

Glej tudi

• Wieferichovo praštevilo
• Wall-Sun-Sunovo praštevilo
• Wolstenholmovo praštevilo
• PrimeGrid
• tabela kongruenc

Viri

• Beeger, N. G. W. H. (1913–1914). »Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²)«. The Messenger of Mathematics. 43: 72–84.
• Goldberg, Karl (1953). »A table of Wilson quotients and the third Wilson prime«. J. London Math. Soc. 28 (2): 252–256. doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
• Ribenboim, Paulo (1996). The new book of prime number records. Springer-Verlag. str. 346. ISBN 978-0-387-94457-9.
• Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomerance, Carl (1997). »A search for Wieferich and Wilson primes«. Math. Comput. 66 (217): 433–449. doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
• Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer-Verlag. str. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
• Pearson, Erna H. (1963). »On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²)« (PDF). Math. Comput. 17: 194–195.

Zunanje povezave

• The Prime Glossary: Wilson prime
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Wilson prime«. MathWorld.
• Status of the search for Wilson primes