Sfera

Sfêra je v matematiki površje krogle, torej dvorazsežna mnogoterost (ploskev), vložena v trirazsežni prostor. Grobo rečeno si lahko sfero predstavljamo kot milni mehurček ali žogo, torej kot nekaj votlega.

Osenčena sfera

Sfera predstavljena z mrežo kot ortogonalno projekcijo

Ena od najbolj popolnih sfer, ki jih je kdaj naredil človek. Kremenov giroskop za preskus z gravitacijsko sondo, ki se razlikuje od popolne sfere le za debelino 40 atomov, odbija Einsteinovo sliko v ozadju. Verjamejo, da so le nevtronske zvezde še bolj gladke.

Geometrija

Še točneje je sfera množica točk v trirazsežnem evklidskem prostoru, ki ležijo na razdalji r od nepomične točke tega prostora. r je pozitivno realno število, ki se imenuje polmer dane sfere. V posebnem primeru r = 1 se takšna sfera imenuje enotska sfera.

V koordinatni geometriji je sfera s središčem (x₀, y₀, z₀) in polmerom r množica vseh takšnih točk (x,y,z), da velja

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\,$

Točke na sferi s polmerom r in središčem v izhodišču lahko parametriziramo s tremi enačbami

$x=r\sin \theta \;\cos \phi$

$y=r\sin \theta \;\sin \phi \qquad (0<\theta <\pi {\mbox{ in }}0<\phi <2\pi )\,$

$z=r\cos \theta \,$

(glej trigonometrične funkcije in krogelne koordinate).

Sfero s poljubnim polmerom in središčem v izhodišču opišemo z diferencialno enačbo:

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$

Površina sfere s polmerom r je 4πr², prostornina krogle, ki jo določa, pa 4πr³/3. Krogla ima med vsemi ploskvami, ki ograjujejo dano prostornino, najmanjšo površino, in med vsemi zaprtimi ploskvami z danimi površinami zasede največjo prostornino. Zaradi tega se velikokrat pojavlja v naravi. Mehurčki in vodne kapljice v breztežnostnem prostoru zavzamejo obliko krogel, ker površinska napetost skuša zmanjšati njihovo površino.

Opisan valj dani krogli ima prostornino enako 3/2 prostornine krogle in površino 3/2 površine krogle. To dejstvo in zgornje enačbe za prostornino in površino je poznal že Arhimed.

Sfero lahko opredelimo tudi kot ploskev, ki nastane z vrtenjem kroga ali polkroga okrog svojega premera. Če krožnico nadomestimo z elipso, nastane sferoid, oziroma rotacijski elipsoid. Takšno obliko sploščenega sferoida ima Zemlja v dovolj dobrem približku. Njena še točnejša oblika se imenuje geoid.

Posplošitev v višje razsežnosti

Krogle lahko posplošimo v druge razsežnosti. Za poljubno naravno število n je n-sfera množica točk v (n+1)-razsežnem evklidskem prostoru, ki ležijo na razdalji r od nepomične točke tega prostora, kjer je r kakor prej pozitivno realno število.

• 0-sfera je par točk (-r, r),
• 1-sfera je krožnica s polmerom r,
• 2-sfera je navadna sfera
• 3-sfera je sfera v štirirazsežnem evklidskem prostoru.

Sfere za n > 2 včasih imenujemo hipersfere. n-sfera z enotskim polmerom in središčem v izhodišču se označuje Sⁿ.

n-sfera je zgled kompaktne n-mnogoterosti.

Glej tudi

• Riemannova sfera
• krožnica, 3-sfera, hipersfera
• krogla
• svitek
• nebesna krogla
• metrični prostor
• interesna sfera - področje (želenega) vpliva
• atmosfera
• hidrosfera
• Dysonova sfera
• psevdosfera