Porazdelitev beta je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev , ki je definirana na intervalu (0,1). Porazdelitev ima dva parametra, ki določata njeno obliko (parameter oblike ). Parametra označujemo z
α
{\displaystyle \alpha \!}
β
{\displaystyle \beta \!}
Beta porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev za različne α in β
Zbirna funkcija verjetnosti beta porazdelitve za različne α in β
oznaka
B
e
t
a
(
α
,
β
)
{\displaystyle Beta(\alpha ,\beta )\!}
parametri
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
oblika (realno število )
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
oblika (realno število )
interval
x
∈
(
0
;
1
)
{\displaystyle x\in (0;1)\!}
funkcija gostote verjetnosti
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
zbirna funkcija verjetnosti
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
pričakovana vrednost
α
α
+
β
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}
mediana
I
0.5
−
1
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )}
modus
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!}
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}
varianca
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}
simetrija
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
−
1
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
karakteristična funkcija
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}
Funkcija verjetnosti
uredi
Funkcija gostote verjetnosti za beta porazdelitev je
f
(
x
;
α
,
β
)
=
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
∫
0
1
u
α
−
1
(
1
−
u
)
β
−
1
d
u
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\!}
=
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
{\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!}
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
{\displaystyle ={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!}
kjer je
Zbirna funkcija verjetnosti
uredi
Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
F
(
x
;
α
,
β
)
=
B
x
(
α
,
β
)
B
(
α
,
β
)
=
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
kjer je
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}
funkcija beta
B
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle B_{x}(\alpha ,\beta )\!}
Pričakovana vrednost
uredi
Pričakovana vrednost je enaka
α
α
+
β
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}
Varianca je enaka
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}
Oblika funkcije gostote verjetnosti
uredi
Kadar je
α
=
1
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}
zvezno enakomerno porazdelitev
Za
α
<
1
,
β
<
1
{\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}
Za
α
<
1
,
β
≥
1
{\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}
α
=
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}
Za
α
=
1
,
β
>
2
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}
konveksna
Za
α
=
1
,
β
=
2
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}
α
=
1
,
1
<
β
<
2
{\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}
konkavna
Za
α
=
1
,
β
<
1
{\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}
α
>
1
,
β
≤
1
{\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}
α
>
2
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}
α
=
2
,
β
=
1
{\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}
1
<
α
<
2
,
β
=
1
{\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}
Za
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}
unimodalna (vijolična in črna krivulja). Povezave z drugimi porazdelitvami
uredi
Če se slučajna spremenljivka X podreja beta porazdelitvi, potem je spremenljivka T = X/(1 – X) porazdeljena po posebni porazdelitvi, ki jo imenujemo beta porazdelitev druge vrste (včasih jo imenujemo tudi beta prime porazdelitev ).
Porazdelitev
B
e
t
a
(
1
,
1
)
{\displaystyle Beta(1,1)\!}
enakomerni zvezni porazdelitvi .
Če ima slučajna spremenljivka X porazdelitev
B
e
t
a
(
3
/
2
,
3
/
2
)
{\displaystyle Beta(3/2,3/2)\!}
Wignerjevi polkrožni porazdelitvi .
Kadar imata dve slučajni spremenljivki X in Y porazdelitev gama
Γ
(
α
,
θ
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha ,\theta )\!}
Γ
(
β
,
θ
)
{\displaystyle \Gamma (\beta ,\theta )\!}
B
e
t
a
(
α
,
β
)
{\displaystyle Beta(\alpha ,\beta )\!}
Če sta X in Y dve neodvisni slučajni spremenljivki in je prva porazdeljena s porazdelitvijo
B
e
t
a
(
α
,
β
)
{\displaystyle Beta(\alpha ,\beta )\!}
F porazdelitvijo (Snedekorjeva F porazdelitev) z
F
(
2
β
,
2
α
)
{\displaystyle F(2\beta ,2\alpha )\!}
P
{\displaystyle P\!}
P
(
X
≤
α
/
(
α
+
x
/
b
e
t
a
)
)
=
P
(
Y
>
x
)
{\displaystyle P(X\leq \alpha /(\alpha +x/beta))=P(Y>x)\!}
x
>
0
{\displaystyle x>0\!}
Beta porazdelitev je posebni primer Dirichletove porazdelitve za samo dva parametra
Kumaraswamyjeva porazdelitev spominja na beta porazdelitev.Kadar ima slučajna spremenljivka X zvezno enakomerno porazdelitev z
X
∼
U
(
0
,
1
]
{\displaystyle X\sim {\rm {U}}(0,1]\,}
X
2
∼
B
e
t
a
(
1
/
2
,
1
)
{\displaystyle X^{2}\sim {\rm {Beta}}(1/2,1)\ }
![{\displaystyle X\sim {\rm {U}}(0,1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de74bb323a07dccdd103dfd537ce9f9b85d0d5ce)
