Polpolieder
Polpolieder (tudi hemipolieder) je uniformni zvezdni polieder. Njegove stranske ploskve potekajo skozi njegovo središče. Te pol (»hemi«) stranske ploskve ležijo vzporedno z nekim drugim simetričnim poliedrom. Njihovo število je samo polovica stranskih ploskev tega drugega poliedra. Iz tega izhaja tudi predpona »hemi«.[1]
Predpona »hemi« se uporablja tudi za določene projektivne poliedre kot je npr. polkocka, ki je slika preslikave 2 v 1 sfernega poliedra s centralno simetrijo.
Wythoffov simbol in slika oglišč uredi
Wythoffovi simboli imajo obliko p/(p − q) p/q | r; njihove slike oglišč so križni štirikotnik|križni štirikotniki. Slika oglišč je enaka p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-kotniške stranske ploskve tečejo skozi središče modela. Notacija p/(p − q) vključuje {p/q} stranskih ploskev, ki se obračajo nazaj okoli slike oglišč.
Devet oblik skupaj s Wythoffovimi simboli je:
 tetrahemiheksaeder 3/2 3 ǀ 2 (3.4.3/2.4) (p/q = 3, r = 2) |
 oktahemioktaeder 3/2 3 ǀ 3 (3.6.3/2.6) (p/q = 3, r = 3) |
 mali ikozihemidodekaeder 3/2 3 ǀ 5 (3.10.3/2.10) (p/q = 3, r = 5) |
 veliki ikozihemidodekaeder 3/2 3 ǀ 5/3 (3.10/3.3/2.10/3) (p/q = 3, r = 5/3) |
 mali dodekahemiikozaeder 5/3 5/2 ǀ 3 (5/2.6.5/3.6) (p/q = 5/2, r = 3) |
 kubohemioktaeder 4/3 4 ǀ 3 (4.6.4/3.6) (p/q = 4, r = 3) |
 mali dodekahemidodekaeder 5/4 5 ǀ 5 (5.10.5/4.10) (p/q = 5, r = 5) |
 veliki dodecahemidodecahedron 5/3 5/2 ǀ 5/3 (5/2.10/3.5/3.10/3) (p/q = 5/2, r = 5/3) |
 veliki dodekahemiikozaeder 5/4 5 ǀ 3 (5.6.5/4.6) (p/q = 5, r = 3) |
Orientabilnost uredi
Samo oktahemioktaeder predstavlja orientabilno ploskev. Vsi ostali polpoliedri so neorientabilni ali ploskve s samo eno stranjo.
Dualna telesa polpoliedrov uredi
Ker imajo polpoliedri stranske ploskve, ki potekajo skozi središče, imajo pripadajoče dualne oblike oglišča v neskončnosti ali na realni projektivni ravnini v neskončnosti [2]. V knjigi Magnus Wenninger (rojen 1919) dualni modeli so prikazani kot sekajoče se prizme, ki so podaljšane v obeh smereh za isto sliko oglišč do neskončnosti, da bi se obdržala simetrija. V resnici se modeli prizem odrežejo v določeni točki, kar je ugodno za izdelovalce. Wenninger predlaga, da so te oblike nov razred stelacije, ki jo imenujemo stelacija v neskončnosti. Predlagal je tudi, da ta vrsta konstrukcije ne potrjuje običajnih definicij.
Obstoja devet takšnih dualov:
|
|
|
|
|
| tetrahemiheksakron | ||||
| 3 sekajoče se neskončne štiristrane prizme | 4 sekajoče se neskončne šeststrane prizme | 6 sekajoče se neskončne desetstrane prizme | 6 sekajočih se neskončnih desetstranih prizem | 10 sekajočih se neskončnih šeststranih prizem |
Odnosi s kvazipravilnimi poliedri uredi
Polpoliedri se pojavljajo v parih kot facetiranje kvazipravilnih poliedrov s štirimi stranskimi ploskvami na oglišču. Ti kvazipravilni poliedri imajo sliko oglišč m.n.m.n. Njihovi robovi tvorijo tudi n-kotne in m-kotne stranske ploskve, ki tvorijo polstranske ploskve polpoliedra. Tako se lahko polpolieder dobi iz kvazipravilnih poliedrov tako, da se zavrže m- in n-kotnike in se potem vpelje polstranske ploskve. Ker se je zavrglo m- in n-kotnike, se lahko vsakega od dveh polpoliedrov dobi iz kvazipravilnega poliedra. Tega pa se ne da narediti za oktaeder in tetraeder, kjer velja m = n = 3 in sta facetiranji skladni. Ta vrsta konstrukcije ne deluje za kvazipranevilne poliedre s šestimi stranskimi ploskvami na oglišču ker njihovi robovi ne tvorijo nobene pravilne polstranske ploskve. [1]
Ker imajo polpoliedri tako kot kvazipravilni poliedri, ki imajo dve vrsti stranskih ploskev, ki se izmenoma pojavljajo okrog vsakega oglišča, se jih obravnava tudi kot kvazipravilne.[1]
| Kvazipravilni poliedri m.n.m.n |
polstranske ploskve (h-kotniki) |
polpoliedri z m-kotniki uporabljeni z m.h.m/m - 1.h |
polpolieder z n-kotniki uporabljen z n.h.n/n - 1.h |
|---|---|---|---|
 tetratetraeder 3.3.3.3 m = 3, n = 3 |
 kvadrati {4} |
tetrahemiheksaeder 3.4.3/2.4 |
tetrahemiheksaeder 3.4.3/2.4 |
 kubooktaeder 3.4.3.4 m = 3, n = 4 |
 šestkotniki {6} |
kubohemioktaeder 4.6.4/3.6 |
oktahemioktaeder 3.6.3/2.6 |
 ikozidodekaeder 3.5.3.5 m = 3, n = 5 |
 desetkotniki {10} |
mali dodekahemidodekaeder 5.10.5/4.10 |
mali ikozihemidodekaeder 3.10.3/2.10 |
 dodekadodekaeder 5.5/2.5.5/2 m = 5, n = 5/2 |
 šestkotniki {6} |
mali dodekahemikozaeder 5/2.6.5/3.6 |
veliki dodekahemiikozaeder 5.6.5/4.6 |
 veliki ikozidodekaeder 3.5/2.3.5/2 m = 3, n = 5/2 |
 dekagrami {10/3} |
veliki dodekahemidodekaeder 5/2.10/3.5/3.10/3 |
veliki ikozihemidodekaeder 3.10/3.3/2.10/3 |
Tukaj m in n odgovarjata zgornjemu p/q in h pomeni 2r (glej zgoraj).
Sklici uredi
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Hart, George (1996). »Quasiregular Polyhedra«. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Pridobljeno 6. maja 2012.
- ↑ (Wenninger 2003, str. 101)