Polarni koordinatni sistem

Polárni koordinátni sistém je ravninski koordinatni sistem, ki se ga uporablja v matematiki, fiziki, astronomiji in nekatrih drugih vedah. Uporabljamo ga kot alternativo kartezičnemu koordinatnemu sistemu. Polarni koordiantni sistem je tudi osnova za dva koordinatna sistema v prostoru: cilindrični in sferni koordinatni sistem.

Polarni koordinatni sistem

Dve točki podani s polarnimi koordinatami

Pretvorba koordinat

Točko v polarnem koordinatnem sistemu podamo z dvema številoma, ki ju imenujemo polarni koordinati:

• prva koordinata točke je radij (točke oddaljenost od izhodišča) - po navadi ga označimo s črko r, včasih pa tudi z ρ. Radij je praviloma večji od 0, le v izhodišču je r = 0.
• druga koordinata točke je polarni kot - označimo ga s črko φ ali θ. To je kot, ki ga določa točka glede na desni del vodoravne osi. Polarni kot je pozitiven, če ga merimo v matematično pozitivni smeri (v obratni smeri urinih kazalcev), in negativen, če ga merimo v matematično negativni smeri (v smeri urinih kazalcev). Polarni kot se po navadi podaja na intervalu [0°,360°] ali pa na intervalu (-180°,180°]. Pogosto se ga podaja tudi v radianih.

Pretvorba koordinat

Če poznamo polarni koordinati točke, lahko izračunamo njeni kartezični koordinati x in y z zvezama:

$x=r\cos \varphi \!\,,$

$y=r\sin \varphi \!\,.$

Če poznamo kartezični koordinati, pa lahko dobimo polarni koordinati s pomočjo enačb:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\!\,,$

$\operatorname {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x}}\!\,.$

Iz spodnje enačbe dobimo polarni kot φ s pomočjo funkcije arkus tangens - pri tem moramo paziti na pravilno izbiro vrednosti kota (po potrebi moramo prišteti +180°). Večina sodobnih kalkulatorjev ima že vgrajeno pretvorbo koordinat, ki avtomatično izračuna pravilni kot: tipka R→P pomeni pretvorbo iz pravokotnih v polarne koordinate (angleško Rectangular → Polar), tipka P→R pa obratno.

Polarne koordinate vektorjev

Tudi ravninske vektorje lahko podajamo s polarnimi koordinatami. Pri tem r pomeni dolžino vektorja, φ pa njegovo smer (smerni kot).

Vektor, ki ima dolžino r in smerni kot φ, lahko zapišemo s kartezičnimi koordinatami kot:

${\vec {a}}=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\!\,.$

Polarne koordinate kompleksnih števil

Kompleksno število z = x + iy geometrijsko predstavimo s točko v ravnini. Če to točko opišemo s polarnima koordiantama, lahko rečemo, da smo kompleksnemu številu priredili polarni koordinati. Polarna koordinata r pri tem pomeni absolutno vrednost kompleksnega števila z. Polarno koordinato φ pri kompleksnih številih imenujemo tudi argument števila z in ga praviloma podajamo v radianih.

Kompleksno število, ki ima absolutno vrednost r in argument (polarni kot) φ, je torej enako:

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\!\,.$

Če upoštevamo Eulerjevo enačbo lahko to pišemo tudi kot:

$z=r\,e^{i\varphi }\!\,.$

Polarne koordinate so povezane z množenjem in deljenjem kompleksnih števil:

• Pri množenju dveh kompleksnih števil se obe absolutni vrednosti zmnožita, polarna kota pa se seštejeta.
• Pri deljenju dveh kompleksnih števil se obe absolutni vrednosti delita, polarna kota pa se odštejeta.